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1、标准偏差出自MBA智库百科(http://wiki.mbalib.com/)相对标准方差的计算公式 准确度:测定值与真实值符合的程度绝对误差:测量值(或多次测定的平均值)与真(实)值之差称为绝对误差,用δ表示。相对误差:绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。 绝对误差可正可负,可以表明测量仪器的准确度,但不能反映误差在测量值中所占比例,相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例,衡量相对误差更有意义。 例:用刻度0.5cm的尺测量长度,可以读准到0.1cm,该尺测量的绝对误差为0.1cm;用刻度1mm的尺测量长度,可以读
2、准到0.1mm,该尺测量的绝对误差为0.1mm。 例:分析天平称量误差为0.1mg,减重法需称2次,可能的最大误差为0.2mg,为使称量相对误差小于0.1%,至少应称量多少样品? 答:称量样品量应不小于0.2g。真值(μ):真值是客观存在的,但任何测量都存在误差,故真值只能逼近而不可测知,实际工作中,往往用“标准值”代替“真值”。标准值:采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。精密度:几次平行测定结果相互接近的程度。 各次测定结果越接近,精密度越高,用偏差衡量精密度。偏差:单次测量值与样
3、本平均值之差:平均偏差:各次测量偏差绝对值的平均值。相对平均偏差:平均偏差与平均值的比值。标准偏差:各次测量偏差的平方和平均值再开方,比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在,在统计学上更有意义。相对标准偏差(变异系数) 例:分析铁矿石中铁的质量分数,得到如下数据:37.45,37.20,37.50,37.30,37.25(%),计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。准确度与精密度的关系: 1)精密度是保证准确度的先决条件:精密度不符合要求,表示所测结果不可靠,失去衡量准确度的前提。 2)精密度高不能保证准确
4、度高。 换言之,准确的实验一定是精密的,精密的实验不一定是准确的。重复性试验按拟定的含量测定方法,对同一批样品进行多次测定(平行试验至少5次以上,即n>5),计算相对标准偏差(RSD),一般要求低于5% 数学表达式: ·S-标准偏差(%)·n-试样总数或测量次数,一般n值不应少于20-30个·i-物料中某成分的各次测量值,1~n;标准偏差的使用方法 六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量,其测得值为l1、l2、……ln。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ,则有 σ1
5、=li−X σ2=l2−X …… σn=ln−X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为 (1) 由于真值X都是不可知的,因此真差σ占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的,在实际应用中,我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明,随着测量次数的增多,算术平均值最接近真值,当时,算术平均值就是真值。 于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)Vi来代替真差σ,即 设一组等精度测量值为l1、l2、……ln 则 ……
6、 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时,,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出,在n有限时,用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此,我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点,我们将σ的估计值用“S”表示。于是,将式(2)改写为 (2') 在求S时,为免去求算术平均值的麻烦,经数学推导(过程从略)有
7、 于是,式(2')可写为 (2") 按式(2")求S时,只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺,即可。标准偏差σ的无偏估计 数理统计中定义S2为样本方差 数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中,S2围绕σ2散布,它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计,也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们,对于服从正态分布的正态总体,总体标准偏差σ的无偏估计值为 (3) 令 则 即S1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个
8、系数,Kσ值见表。 计算Kσ时用到 Γ(n+1)=nΓ(n) Γ(1)=1 由表1知,当n>30时,。因此,当n>30时,式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。在n=30~50时,最宜用贝