高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理学案 新人教A版必修4.doc

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1、2．3.1　平面向量基本定理预习课本P93～94，思考并完成以下问题(1)平面向量基本定理的内容是什么？(2)如何定义平面向量基底？(3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[点睛]　对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面

2、内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[点睛]　当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个向量都可以作为基底．(　　)(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．(　　)(3)零向量不可以作为基底中的向量．(　　)答

3、案：(1)×　(2)√　(3)√2．若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为(　　)A．60°　　　　　　　　　B．30°C．120°D．150°答案：B3．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　)A．e1，e2B．e1＋e2,3e1＋3e2C．e1,5e2D．e1，e1＋e2答案：B4．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量，的夹角为______．答案：135°用基底表示向量[典例]　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.[解]　法一：由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b.所以＝＋＝－

4、＝a－b，＝＋＝a＋b，法二：设＝x，＝y，则＝＝y，又则所以x＝a－b，y＝a＋b，即＝a－b，＝a＋b.用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[活学活用]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试以a，b为基底表示，，.解：∵AD∥BC，且AD＝BC，∴＝＝b.∵E为AD的中点，∴＝＝＝b.∵＝，∴＝b，∴＝＋＋＝－b－a＋b＝b

5、－a，＝＋＝－b＋b－a＝b－a，＝＋＝－(＋)＝－(＋)＝－＝a－b.向量夹角的简单求解[典例]　已知

6、a

7、＝

8、b

9、＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？[解]　如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.因为

10、a

11、＝

12、b

13、＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.求两个向量夹角的方法求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确

14、定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作二证三算”．[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量与向量的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝，∴∠DBC为向量与的夹角．∵∠DBC＝120°，∴向量与的夹角为120°.(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴与的夹角为90°.平面向量基本定理的应用[典例]　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[解]　设＝e1

15、，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得∴＝，＝，∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示，解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则＝，＝＋＝＋＝b＋(－)＝b＋a－b＝b＋a.2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.解：如图，设