2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用学案 新人教A版选修2-1.doc

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1、第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系.(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(难点)[基础·初探]教材整理1　点与椭圆的位置关系阅读教材P43～46，完成下列问题.点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔________________；点P在椭圆内部⇔________________；点P在椭圆外部⇔________________.【答案】　＋＝1　＋<1　＋>1若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________.【解析】　∵点A在椭

2、圆内部，∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜.【答案】　(－，)教材整理2　直线与椭圆的位置关系阅读教材P47例7，完成下列问题.直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交________解Δ____0相切________解Δ____0相离________解Δ____0【答案】　两　>　一　＝　无　<直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)A.相离　B.相切C.相交D.无法确定【解析】　联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交.【答案】　C[小组合作型]直线

3、与椭圆位置关系的判断　对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系.【精彩点拨】　―→―→―→【自主解答】　联立方程组将①代入②得：＋(x＋m)2＝1，整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2).当Δ＞0，即－＜m＜时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝±时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m＜－或m＞时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离.1.直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况，其位置关系的几何特

4、征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件.2.判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即通过方程研究，先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程.由于该一元二次方程有无实数解、有几个实数解与方程组的解的个数相对应，故利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ＞0，Δ＜0还是Δ＝0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况.[再练一题]1.若把本例中直线方程改为“y＝2x＋m”，椭圆方程改为“＋＝1”，试讨论直线与椭圆的位置关系.【解】　由直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，

5、并整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③方程③的判别式为Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)由Δ＞0，得－3＜m＜3，也就是当－3＜m＜3时，方程③有两个不相等的实数根，可知原方程组有两个不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点，即直线l与椭圆C相交.(2)由Δ＝0，得m＝±3，也就是当m＝±3时，方程③有两个相等的实数根，可知原方程组有两个相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点，即直线l与椭圆C相切.(3)由Δ＜0，得m＜－3或m＞3，也就是当m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数根，这时直线l与椭圆C没

6、有公共点，即直线l和椭圆C相离.弦长问题　已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.(1)试求动点P的轨迹方程C;【导学号：】(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当

7、MN

8、＝时，求直线l的方程.【精彩点拨】　(1)采用什么方法求动点P的轨迹；(2)求弦长

9、MN

10、时需要具体求出M、N的坐标吗，如何表示出弦长

11、MN

12、.【自主解答】　(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得，kPA·kPB＝－.∴·＝－，化简整理得＋y2＝1.故P点的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±).(2)设直线l与曲线C的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(

13、1＋2k2)x2＋4kx＝0.∴x1＋x2＝，x1·x2＝0.

14、MN

15、＝·＝，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍).∴k＝±1，经检验符合题意.∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长.(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：

16、P1P2

17、＝·＝，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代