2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（二）学案 新人教B版选修2-1.doc

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1、2.2.2　椭圆的几何性质(二)学习目标　1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一　点与椭圆的位置关系思考1　判断点P(1，2)与椭圆＋y2＝1的位置关系．思考2　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外＋>1P在椭圆上＋＝1P在椭圆内＋<1知识点二　直线与椭圆的位置关系思考1　直线与椭圆有几种位置关系？思考2　如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(

2、a>b>0)的位置关系？梳理　(1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆__________；若Δ＝0，则直线和椭圆________；若Δ<0，则直线和椭圆________．(2)根与系数的关系及弦长公式设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做________．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得

3、AB

4、＝，将y1＝kx1＋m，y2＝

5、kx2＋m代入上式，得

6、AB

7、＝＝＝

8、x1－x2

9、，而

10、x1－x2

11、＝，所以

12、AB

13、＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆＋＝1.无论k取何值，直线l恒过定点(2，1)，而定点(2，1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交．类型一　点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1　点与椭圆位置关系的判断例1　已知点P(k，1)，椭圆＋＝1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为________________．引申探究若将本例中P点坐标改

14、为“(1，k)”呢？反思与感悟　处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1　已知点(3，2)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则(　　)A．点(－3，－2)不在椭圆上B．点(3，－2)不在椭圆上C．点(－3，2)在椭圆上D．以上都不正确命题角度2　直线与椭圆位置关系的判断例2　(1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．反思与感悟

15、　直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点．(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点．(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练2　(1)已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)A．1B．1或2C．2D．0(2)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)A.B．－C．±D．±类型二　弦长及弦中点问题例3　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程．引申探究在本例中求弦AB的长

16、．　反思与感悟　直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．跟踪训练3　已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程．类型三　椭圆中的最值(或范围)问题例4　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截

17、得的最长弦所在的直线方程．反思与感悟　求最值问题的基本策略(1)求解形如

18、PA

19、＋

20、PB

21、的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时

22、PA

23、＋

24、PB

25、取得最值．(2)求解形如

26、PA

27、的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．(4)利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范围．跟踪训练4　已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3，0)，

28、

29、＝1，且·＝0，求

30、

31、的最小值．1．若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则

32、a的取值范围是(　　)A．－C．－2