2018版高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（二）学案 新人教A版必修5.doc

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1、3.2一元二次不等式及其解法（二）[学习目标]　1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一　分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式＞0(＜0)法Ⅰ：或法Ⅱ：f(x)·g(x)＞0(＜0)≥0(≤0)法Ⅰ：或法Ⅱ：＞a先移项转化为上述两种形式知识点二　简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是：(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二

2、次不可分解因式的积；(3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．思考　(x－1)(x－2)(x－3)2(x－4)＞0的解集为______________．答案　{x

3、1＜x＜2或x＞4}解析　利用数轴穿根法知识点三　一元二次不等式恒成立问题对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(

4、x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．题型一　分式不等式的解法例1　解下列不等式：(1)＜0；(2)≤2.解　(1)由＜0，得＞0，此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，∴原不等式的解集为{x

5、x＜－4或x＞3}．(2)方法一　移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0，即≥0，同解不等式为∴x＜2或x≥5.∴原不等式的解集为{x

6、x＜2或x≥5}．方法二　原不等式可化为≥0，此不等式等价于①或②解①得x≥5，解②得x＜2，∴原不等式的解集为{x

7、x＜2或x≥5}．反思与感悟　分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型＞0(<0)或≥0(≤0)，再化成

8、整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可，注意不等号的方向变化．跟踪训练1　不等式<2的解集为(　　)A．{x

9、x≠－2}B．RC．∅D．{x

10、x<－2或x>2}答案　A解析　∵x2＋x＋1＝＋＞0，∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x

11、x≠－2}．题型二　解一元高次不等式例2　解下列不等式：(1)x4－2x3－3x2＜0；(2)1＋x－x3－x4＞0；(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)＞0.解　(1)原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0，当x≠0时，x2＞0，由(x－3

12、)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3；当x＝0时，原不等式为0＜0，无解．∴原不等式的解集为{x

13、－1＜x＜3，且x≠0}．(2)原不等式可化为(x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＜0，而对于任意x∈R，恒有x2＋x＋1＞0，∴原不等式等价于(x＋1)(x－1)＜0，∴原不等式的解集为{x

14、－1＜x＜1}．(3)原不等式可化为(2x－3)(3x－4)(2x－1)(x－2)＞0，进一步化为(x－2)＞0，如图所示，得原不等式的解集为.反思与感悟　解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑数轴穿根法．跟踪训练2　若不等

15、式x2＋px＋q＜0的解集是{x

16、1＜x＜2}，则不等式＞0的解集是(　　)A．(1，2)B．(－∞，－1)∪(6，＋∞)C．(－1，1)∪(2，6)D．(－∞，－1)∪(1，2)∪(6，＋∞)答案　D解析　由题意知x2＋px＋q＝(x－1)(x－2)，则待解不等式等价于(x－1)(x－2)(x2－5x－6)＞0⇒(x－1)(x－2)(x－6)(x＋1)＞0⇒x＜－1或1＜x＜2或x＞6.题型三　不等式恒成立问题例3　对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________．答案　(－2，2)解析　由题意知，f(x)开口向上，故要使f

17、(x)＞0恒成立，只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.反思与感悟　有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．跟踪训练3　对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x