2018版高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（三）学案 新人教A版必修5.doc

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1、1.2应用举例（三）[学习目标]　1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用．知识点一　三角形常用面积公式及其证明1．公式(1)三角形面积公式S＝ah．(2)三角形面积公式的推广S＝absinC＝bcsinA＝casinB.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．2．证明(1)三角形面积公式的推广在△ABC中，边BC，CA，AB对应的边长分别为a，b，c，边上的高分别记为ha，hb，hc，则ha＝bsinC＝csinB，hb＝csinA＝a

2、sinC，hc＝asinB＝bsinA.借助上述结论，如图，若已知△ABC中的边AC，AB，角A，那么AB边上的高CD＝bsin__A，△ABC的面积S＝bcsinA，同理可求得S＝absinC＝acsinB.(2)三角形的面积与内切圆已知△ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则△ABC的面积为S＝r(a＋b＋c)．如图，设△ABC内切圆圆心为O，连接OA，OB，OC，则S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝cr＋br＋ar＝(a＋b＋c)r.思考　(1)已知△ABC的面积为，且b＝2，c

3、＝，则A＝________．(2)在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于________．答案　(1)60°或120°　(2)解析　(1)S＝bcsinA＝，∴·2··sinA＝，∴sinA＝，又∵A∈(0°，180°)，∴A＝60°或120°.(2)由正弦定理＝，∴sinC＝＝＝1，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝90°，∴b＝＝＝.∴S△ABC＝×1×＝.知识点二　多边形的面积对于多边形的有关几何计算问题，特别是面积问题可以利用“割补法”将多边形转化为三角形，利用三角形的

4、有关性质及正弦、余弦定理解决．题型一　三角形的面积公式及其应用例1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，b＝.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解　(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝，cosA＝，所以C＝－A，sinA＝.于是sinC＝sin＝cosA＋sinA＝.(2)由(1)知sinA＝，sinC＝，又因为B＝，b＝，所以在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.于是△ABC的面积S＝absinC＝×××＝.反思与感悟　求三角形的面积，要充分挖掘题目中的

5、条件，使之转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用，另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增解．跟踪训练1　如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．解　连接BD，则四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△CDB＝AB·ADsinA＋BC·CDsinC.∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC，∴S＝(AB·AD＋BC·CD)sinA＝(2×4＋6×4)sinA＝16sinA.在△ABD中

6、，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA.在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC＝52－48cosC.∴20－16cosA＝52－48cosC.∵cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32，∴cosA＝－，又A∈(0°，180°)，∴A＝120°，∴S＝16sin120°＝8.题型二　三角形面积的最值问题例2　已知△ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2R(sin2A－

7、sin2C)＝(a－b)·sinB，求△ABC面积的最大值．解　由正弦定理得a2－c2＝(a－b)b，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理得cosC＝＝＝，∵C∈(0，π)，∴C＝.∴S＝absinC＝×2RsinA·2RsinB·＝R2sinAsinB＝R2sinAsin(π－A)＝R2sinA(cosA＋sinA)＝R2(sinAcosA＋sin2A)＝R2(sin2A＋)＝R2[sin(2A－)＋]∵A∈(0，π)．∴2A－∈(－，π)∴sin(2A－)∈(－，1]，∴S∈(0，R2]，∴面积S的最

8、大值为R2.反思与感悟　求三角形面积的最值时，我们一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系式(注意消元)，再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值．跟踪训练2　若△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且S＝c2－(a－b)2，a＋b＝2，求面积S的最大值．解　S＝c2－(a－b)2＝c2－a2－b2＋2ab＝2ab－(a2＋b2－c2)，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，∴c2－(a－b)