高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（2）学案 新人教A版必修.doc

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1、1.2应用举例（2）学习目标　1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．知识点一　测量仰角(或俯角)求高度问题思考　如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)答案　解题思路是：在△ACD中，＝所以AC＝，在Rt△AEC中，AE＝ACsinα，AB＝AE＋h.梳理　问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α、β、m表示AE的长，所得结果再加

2、上h.知识点二　测量方位角求高度思考　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?答案　先在△ABC中，用正弦定理求BC＝，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8°.梳理　问题本质是：如图，已知三棱锥D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α、β、m、γ表示DC的长．类型一　测量仰角(或俯角)求高度问题命题角度1　仰角例1　如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A

3、点离地面的高AB等于(　　)A．10mB．5mC．5(－1)mD．5(＋1)m答案　D解析　方法一　设AB＝xm，则BC＝xm.∴BD＝(10＋x)m.∴tan∠ADB＝＝＝.解得x＝5(＋1)m.所以A点离地面的高AB等于5(＋1)m.方法二　∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC＝·sin30°＝.∴AB＝ACsin45°＝5(＋1)m.反思与感悟　(1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形．(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足

4、在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．跟踪训练1　某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________m．(精确到1m)答案　811解析　如图，过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，得AB＝＝＝1000(m)．在Rt△ABC中，BC＝ABsin35°≈811(m)．所以山的高度约为811m.命题角度2　俯

5、角例2　如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD.(精确到1m)解　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.根据正弦定理，＝，所以AB＝＝.解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝.将测量数据代入上式，得BD＝＝≈176.5(m)．CD＝BD－BC≈176.5－27.3≈149(m)．答　山的高度约为149m.反思与感悟　利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学

6、模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练2　江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_____m.答案　30解析　设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，在△ABC中，由题意可知AC＝＝30(m)，BC＝＝30(m)，C＝30°，AB2＝(30)2＋302－2×30×30×cos30°＝900，所以AB＝30(m)．类型二　测量方位角求高度问题例3　如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°

7、，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解　由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m)．即山的高度为800(＋1)m.反思与感悟　此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．跟踪训练3　如图，为测得河对岸塔AB