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《2018年高考数学总复习 第五章 平面向量、复数 第3讲 平面向量的数量积及其应用学案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲 平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量
2、a
3、
4、
5、b
6、cos__θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝
7、a
8、
9、b
10、cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度
11、a
12、与b在a的方向上的投影
13、b
14、cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝
15、a
16、
17、b
18、cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：
19、a
20、＝＝.(3)夹角：cosθ＝＝.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)
21、a·b
22、≤
23、a
24、
25、b
26、(当且仅当a
27、∥b时等号成立)⇔
28、x1x2＋y1y2
29、≤·.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.( )(5)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )解析
30、 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)若a·b>0，a和b的夹角可能为0；若a·b<0，a和b的夹角可能为π.(5)由a·b＝a·c(a≠0)得
31、a
32、
33、b
34、cos〈a，b〉＝
35、a
36、
37、c
38、cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2.(2015·全国Ⅱ卷)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于( )A.－1B.0C.1D.2解析 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C.答案
39、 C3.(2017·湖州模拟)已知向量a，b，其中
40、a
41、＝，
42、b
43、＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________.解析 因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝
44、a
45、2－
46、a
47、
48、b
49、·cos〈a，b〉＝3－2×cos〈a，b〉＝0，解得cos〈a，b〉＝，由于〈a，b〉∈[0，π].则向量a，b的夹角为.答案 4.(2016·石家庄模拟)已知平面向量a，b的夹角为，
50、a
51、＝2，
52、b
53、＝1，则
54、a＋b
55、＝________.解析 ∵
56、a＋b
57、2＝
58、a
59、2＋2a·b＋
60、b
61、2＝4＋2
62、a
63、
64、b
65、cos＋1＝4－2＋1＝3，∴
66、a＋b
67、＝.答案 5.(必修4P10
68、4例1改编)已知
69、a
70、＝5，
71、b
72、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为
73、b
74、cosθ＝4×cos120°＝－2.答案 －26.(2017·瑞安一中检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)，
75、b
76、＝1，且a＋b与a－2b垂直，则向量a·b＝________；a与b的夹角θ的余弦值为________.解析 ∵(a＋b)⊥(a－2b)，∴(a＋b)·(a－2b)＝0，即
77、a
78、2－a·b－2
79、b
80、2＝0，∴5－a·b－2＝0，∴a·b＝3，∴cosθ＝＝.答案 3 考点
81、一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】(1)(2015·四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，
82、
83、＝6，
84、
85、＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )A.20B.15C.9D.6(2)(2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )A.－B.C.D.解析 (1)取，为一组基底.∵＝3，∴＝＋＝＋＝＋，＝－＝－＋，∴·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，选C.(2)法一 如图所示，根据已知
