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时间:2020-04-13
《(浙江专用)高考数学第五章平面向量、复数3第3讲平面向量的数量积及应用举例教学案.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲 平面向量的数量积及应用举例1.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是0°≤θ≤180°若θ=0°,则a与b同向;若θ=180°,则a与b反向;若θ=90°,则a与b垂直 2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量
2、a
3、
4、b
5、·cos__θ叫做a与b的数量积,记作a·b投影
6、a
7、cos__θ叫做向量a在b方向上的投影,
8、b
9、cos__θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度
10、a
11、与b在a的方向上的投影
12、b
13、cos__θ的乘积3.向量数量积
14、的运算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模
15、a
16、=
17、a
18、=夹角cosθ=cosθ=a⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(3)由a·b=0可得a=0或b=0.( )(4)(a·b
19、)c=a(b·c).( )(5)两个向量的夹角的范围是.( )(6)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( )答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×[教材衍化]1.(必修4P108A组T6改编)已知a·b=-12,
20、a
21、=4,a和b的夹角为135°,则
22、b
23、为( )A.12 B.6 C.3 D.3解析:选B.a·b=
24、a
25、
26、b
27、cos135°=-12,所以
28、b
29、==6.2.(必修4P105例4改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=________.解析:因为
30、2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.答案:123.(必修4P106练习T3改编)已知
31、a
32、=5,
33、b
34、=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________.解析:由数量积的定义知,b在a方向上的投影为
35、b
36、cosθ=4×cos120°=-2.答案:-2[易错纠偏](1)没有找准向量的夹角致误;(2)不理解向量的数量积的几何意义致误;(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误.1.已知△ABC的三边长均为1,且=c,=a,=b,则a·b+b·c
37、+a·c=________.解析:因为a,b=b,c=a,c=120°,
38、a
39、=
40、b
41、=
42、c
43、=1,所以a·b=b·c=a·c=1×1×cos120°=-,所以a·b+b·c+a·c=-.答案:-2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为________.解析:=(2,1),=(5,5),由定义知,在方向上的投影为==.答案:3.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于________.解析:a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3
44、(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-,所以a·b=-1×+2×1=.答案: 平面向量数量积的运算(1)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则( )A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3(2)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )A.-2B.-C.-D.-1【解析】 (1)如图所示,四边形ABCE是正方形,F为正方形的对角线的交点,易得AO45、,所以∠AOB与∠COD为钝角,∠AOD与∠BOC为锐角.根据题意,I1-I2=·-·=·(-)=·=46、47、·48、49、·cos∠AOB<0,所以I1I3,作AG⊥BD于G,又AB=AD,所以OB50、51、·52、53、<54、55、·56、57、,而cos∠AOB=cos∠COD<0,所以·>·,即I1>I3.所以I3
45、,所以∠AOB与∠COD为钝角,∠AOD与∠BOC为锐角.根据题意,I1-I2=·-·=·(-)=·=
46、
47、·
48、
49、·cos∠AOB<0,所以I1I3,作AG⊥BD于G,又AB=AD,所以OB50、51、·52、53、<54、55、·56、57、,而cos∠AOB=cos∠COD<0,所以·>·,即I1>I3.所以I3
50、
51、·
52、
53、<
54、
55、·
56、
57、,而cos∠AOB=cos∠COD<0,所以·>·,即I1>I3.所以I3
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