（浙江专用）2020版高考数学复习第五章平面向量、复数第3讲平面向量的数量积及应用举例练习（含解析）

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1、第3讲平面向量的数量积及应用举例[基础达标]1．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1，1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于(　　)A．－2B．2C．0D．2或－2解析：选B.n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.2．(2019·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD的边长为1，则

2、－＋

3、等于(　　)A．0B．C．2D．2解析：选C.正方形ABCD的边长为1，则

4、－＋

5、2＝

6、＋

7、2＝

8、

9、2＋

10、

11、2＋2·＝12＋12＋12＋12＝4，所以

12、－＋

13、＝2，故选C.3．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a，b，c满足c＝xa＋y

14、b(x，y∈R)，且a·c>0，b·c>0.(　　)A．若a·b<0则x>0，y>0B．若a·b<0则x<0，y<0C．若a·b>0则x<0，y<0D．若a·b>0则x>0，y>0解析：选A.由a·c>0，b·c>0，若a·b<0，可举a＝(1，1)，b＝(－2，1)，c＝(0，1)，则a·c＝1>0，b·c＝1>0，a·b＝－1<0，由c＝xa＋yb，即有0＝x－2y，1＝x＋y，解得x＝，y＝，则可排除B；若a·b>0，可举a＝(1，0)，b＝(2，1)，c＝(1，1)，则a·c＝1>0，b·c＝3>0，a·b＝2>0，由c＝xa＋yb，即有1＝x＋2y，1＝y，解得x＝－1，y＝1，

15、则可排除C，D.故选A.4．在△ABC中，(＋)·＝

16、

17、2，则△ABC的形状一定是(　　)A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.由(＋)·＝

18、

19、2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，所以2·＝0，所以⊥.所以∠A＝90°，又因为根据条件不能得到

20、

21、＝

22、

23、.故选C.5．已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线AC上的动点，则·的最大值为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选B.以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，设E(λ，λ)(0≤λ≤2)，则＝(λ，λ

24、－2)，＝(1，2)，所以·＝3λ－4≤2.所以·的最大值为2.故选B.6．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a，b是两个非零向量，且

25、a

26、＝

27、b

28、＝λ

29、a＋b

30、，λ∈，则b与a－b的夹角的取值范围是(　　)A．B．C．D．解析：选B.因为

31、a

32、＝

33、b

34、＝λ

35、a＋b

36、，λ∈，不妨设

37、a＋b

38、＝1，则

39、a

40、＝

41、b

42、＝λ.令＝a，＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB为菱形．故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB＝∠OBA＝θ，且0<θ<.而由题意可得，b与a－b的夹角，即与的夹角，等于π－θ，△OAC中，由余弦定理可得

43、OC

44、2＝1＝

45、OA

46、2＋

47、AC

48、2－2

49、

50、OA

51、·

52、AC

53、·cos2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos2θ，解得cos2θ＝1－.再由≤λ≤1，可得≤≤，所以－≤cos2θ≤，所以≤2θ≤，所以≤θ≤，故≤π－θ≤，即b与a－b的夹角π－θ的取值范围是.7．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a与b的夹角为120°，且

54、a

55、＝

56、b

57、＝4，那么

58、a－2b

59、＝________．解析：因为平面向量a与b的夹角为120°，且

60、a

61、＝

62、b

63、＝4，所以a·b＝4·4·cos120°＝－8，所以

64、a－2b

65、＝＝＝＝＝4.答案：48．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的

66、投影为2，则a·b＝________，e1与e2的夹角为________．解析：设e1，e2的夹角为θ，因为a在b上的投影为2，所以＝＝2e1·e2＋

67、e2

68、2＝2

69、e1

70、·

71、e2

72、cosθ＋1＝2，解得cosθ＝，则θ＝.a·b＝(2e1＋e2)·e2＝2e1·e2＋

73、e2

74、2＝2

75、e1

76、·

77、e2

78、cosθ＋1＝2.答案：2　9.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为边CD上一个动点，＝λ，点P为线段BQ(含端点)上一个动点．若λ＝1，则·的取值范围为________．解析：当λ＝1时，Q为CD的中点．设＝m，＝n，＝μ(0≤μ≤1)．易知＝－m＋n，＝＋＝m＋μ＝m＋μn，＝－＝m

79、＋μn－n＝m＋(μ－1)n，所以·＝·＝·＝4＋4μ(μ－1)＝5μ2－8μ＋4.根据二次函数性质可知，当μ＝时上式取得最小值；当μ＝0时上式取得最大值4.所以·的取值范围为.答案：10．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足＝(1，)，＝(－，1)，则凸四边形ABCD的面积为________；·的取值范围是________．解析：由＝(1，)，＝(－，1)得⊥，且

80、

81、＝2，

82、

83、＝2，