2018年高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法(二)—求空间角学案.doc

《2018年高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法(二)—求空间角学案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第8讲　立体几何中的向量方法(二)——求空间角最新考纲　1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.知识梳理1.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围(0，π)求法cosβ＝cosθ＝

2、cosβ

3、＝2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝

4、cos〈a，n〉

5、＝.3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，

6、〉.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足

7、cosθ

8、＝

9、cos〈n1，n2〉

10、，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　　)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(　　)(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π].(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2.(选修

11、2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)A.45°B.135°C.45°或135°D.90°解析　cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.答案　C3.(2014·全国Ⅱ卷)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析　建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，

12、1，2)，N(1，0，2)，所以＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝.答案　C4.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝1，N为B1B的中点，则

13、

14、为(　　)A.aB.aC.aD.a解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，∵点M在AC1上且＝1，(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.得M，∴

15、

16、＝＝a.答案　A5.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α

17、所成的角为________.解析　设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，∴sinθ＝

18、cos〈m，n〉

19、＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.答案　30°6.(2017·郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________.解析　如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.所以＝(0，1，0)，＝分别是平面PAB，平

20、面PCD的法向量，且〈，〉＝45°.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.答案　45°考点一　利用空间向量求异面直线所成的角【例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：(1)△PCD的面积.(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.解　(1)因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，从而CD⊥PD.因为PD＝＝2，CD＝2，所以△PCD的面积为×2×2＝2.(2)法一　如图1，取PB中点F，连接

21、EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.图1在△AEF中，由于EF＝，AF＝，AE＝PC＝2.所以AF2＋EF2＝AE2，∠AFE＝90°，则△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.法二　如图2，建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(1，，1)，＝(1,，1)，＝(0，2，0).图2设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以θ＝.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.规律方法　(1)利用向量法求异面直线所