2018年高考数学一轮复习 专题32 数列及其综合应用教学案 文.doc

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1、专题32数列及其综合应用1.掌握数列的求和方法：(1)直接利用等差、等比数列求和公式；(2)通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3)根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4)通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5)在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)

2、的技巧，在解题时要注意从整体去把握．高频考点一等差、等比数列求和公式及利用例1已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1，所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.【变式探究】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)

3、，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－(n∈N＋)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.(2)由(1)得Sn＝1－＝当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn－≥S2－＝－＝－.综上，对于n∈N＋，总有－≤Sn－≤.所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.高频考点二可转化为等差、等比数列求和例2、已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－

4、1)nan，求数列{bn}的前2n项和．则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.高频考点三根据数列特征，用适当的方法求和例3已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(k∈N*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，求an；(2)求数列的前n项和Tn.【解析】(1)当n＝k∈N*时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝－k2＋k2＝k2，故k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．又a1＝S1＝，所以an＝－n.(2)因为bn＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝

5、1＋＋＋…＋＋，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－.【变式探究】已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，a2＝2，an>0，bn＝(n∈N*)，且{bn}是以q为公比的等比数列．(1)证明：an＋2＝anq2；(2)若cn＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{cn}是等比数列；(3)求和：＋＋＋＋…＋＋.【解析】(解法1)(1)证明：由＝q，有＝＝q,∴an＋2＝anq2(n∈N*).(2)证明：∵an＝an－2q2，∴a2n－1＝a2n－3q2＝…＝a1q2n－2，a2n＝a2n－2q2＝…＝a2q2n－2，∴cn＝a2n－1＋2a2n＝a1q2n－2＋2a2

6、q2n－2＝(a1＋2a2)q2n－2＝5q2n－2，∴{cn}是首项为5，以q2为公比的等比数列．(3)解：由(2)得＝q2－2n，＝q2－2n，于是＋＋…＋＝(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)＝＋(1＋＋＋…＋)＝.由题知q>0，当q＝1时，＋＋…＋＝＝n；当q≠1时，＋＋…＋＝＝＝.故＋＋…＋＝面同解法1)．高频考点四数列求和的综合应用例4将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2　a3a4　a5　a6a7　a8　a9　a10…记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1，Sn为数列{bn}的前n项和，且满足＝1(n

7、≥2)．【解析】(1)证明：数列成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；所以q＝2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，则S＝＝·＝(1－2k)(k≥3)．1.【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.(Ⅰ)设，求证：是等差数列；(Ⅱ)设，求证：【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（Ⅱ）证明：所以.2.【2016高考新课标3理数】已知数列的前n项和，其中．（I）证明是等比数列，并