欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:56402751
大小:299.00 KB
页数:8页
时间:2020-06-23
《2017-2018版高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性学案 新人教B版选修2-2.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.1 利用导数判断函数的单调性明目标、知重点 1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).函数的导数与单调性的关系1.由区间(a,b)内函数的导数的符号判断函数的单调性:导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)=0常数函数2.若函数f(x)在(a,b)内存在导函数且单调递增(递减),则对一切x∈(a,b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且在(a,b)任一子区间内f′(x)不恒为零.
2、3.利用导数讨论函数的单调性或求单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程只能在定义域内进行,即单调区间一定是定义域的子区间.当函数y=f(x)有多个单调区间时,不能用“∪”或“或”把单调区间连起来,而应用“,”或“和”连起来.[情境导学]以前,我们用定义来判断函数的单调性,在假设x13、高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象,及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5的图象,思考运动员从起跳到最高点,从最高点到入水的运动状态有什么区别. 答 (1)从起跳到最高点,h随t的增加而增加,即h(t)是增函数,h′(t)>0;(2)从最高点到入水,h随t的增加而减小,即h(t)是减函数,h′(t)<0.思考2 观察下面四个函数的图象,回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系?答 (1)在区间(-∞,+∞)内,y′=1>0,y是增函数;(2)在区间(-∞,0)内,y′=2x<0,y是减4、函数;在区间(0,+∞)内,y′=2x>0,y是增函数;(3)在区间(-∞,+∞)内,y′=3x2≥0,y是增函数;(4)在区间(-∞,0),(0,+∞)内,y′=-<0,y是减函数.小结 一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.思考3 若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么f′(x)一定大于零吗?函数的单调区间与其定义域满足什么关系?答 不一定.对于任意x∈(a,b)都有f′(x)≥0,且在(5、a,b)的任何一子区间内f′(x)恒等于零.函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的,故单调区间是定义域的子集.思考4 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么如何表示这些区间?试写出思考2中(4)的单调区间.答 不能用“∪”连接,只能用“,”或“和”字隔开.思考2中(4)的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).例1 已知导函数f′(x)的下列信息:当10;当x>4,或x<1时,f′(x)<0;当x=4,或x=1时,f′(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.解 当10,可知f(x)6、在此区间内单调递增;当x>4,或x<1时,f′(x)<0,可知f(x)在这两个区间内单调递减;当x=4,或x=1时,f′(x)=0,这两点比较特殊,我们称它们为“临界点”.综上,函数f(x)图象的大致形状如图所示.反思与感悟 本题具有一定的开放性,图象不唯一,只要能抓住问题的本质,即在相应区间上的单调性符合题意就可以了.跟踪训练1 函数y=f(x)的图象如图所示,试画出导函数f′(x)图象的大致形状.解 f′(x)图象的大致形状如下图:注:图象形状不唯一.例2 求下列函数的单调区间:(1)f(x)=2x3+3x2-36x+1;(2)f(x)=sinx-x(7、00得x<-3,或x>2,由f′(x)<0解得-30,即2·>0,解得-.又∵x>0,∴x>.令f′(x)<0,即2·<0,解得x<-或00,∴08、.∴f(x)的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,).(
3、高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象,及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5的图象,思考运动员从起跳到最高点,从最高点到入水的运动状态有什么区别. 答 (1)从起跳到最高点,h随t的增加而增加,即h(t)是增函数,h′(t)>0;(2)从最高点到入水,h随t的增加而减小,即h(t)是减函数,h′(t)<0.思考2 观察下面四个函数的图象,回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系?答 (1)在区间(-∞,+∞)内,y′=1>0,y是增函数;(2)在区间(-∞,0)内,y′=2x<0,y是减
4、函数;在区间(0,+∞)内,y′=2x>0,y是增函数;(3)在区间(-∞,+∞)内,y′=3x2≥0,y是增函数;(4)在区间(-∞,0),(0,+∞)内,y′=-<0,y是减函数.小结 一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.思考3 若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么f′(x)一定大于零吗?函数的单调区间与其定义域满足什么关系?答 不一定.对于任意x∈(a,b)都有f′(x)≥0,且在(
5、a,b)的任何一子区间内f′(x)恒等于零.函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的,故单调区间是定义域的子集.思考4 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么如何表示这些区间?试写出思考2中(4)的单调区间.答 不能用“∪”连接,只能用“,”或“和”字隔开.思考2中(4)的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).例1 已知导函数f′(x)的下列信息:当10;当x>4,或x<1时,f′(x)<0;当x=4,或x=1时,f′(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.解 当10,可知f(x)
6、在此区间内单调递增;当x>4,或x<1时,f′(x)<0,可知f(x)在这两个区间内单调递减;当x=4,或x=1时,f′(x)=0,这两点比较特殊,我们称它们为“临界点”.综上,函数f(x)图象的大致形状如图所示.反思与感悟 本题具有一定的开放性,图象不唯一,只要能抓住问题的本质,即在相应区间上的单调性符合题意就可以了.跟踪训练1 函数y=f(x)的图象如图所示,试画出导函数f′(x)图象的大致形状.解 f′(x)图象的大致形状如下图:注:图象形状不唯一.例2 求下列函数的单调区间:(1)f(x)=2x3+3x2-36x+1;(2)f(x)=sinx-x(
7、00得x<-3,或x>2,由f′(x)<0解得-30,即2·>0,解得-.又∵x>0,∴x>.令f′(x)<0,即2·<0,解得x<-或00,∴08、.∴f(x)的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,).(
8、.∴f(x)的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,).(
此文档下载收益归作者所有