g线性系统的结构分解和零极点相消资料.ppt

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1、目录(1/1)目录概述4.1线性连续系统的能控性4.2线性连续系统的能观性4.3线性定常离散系统的能控性和能观性4.4对偶性原理4.5线性系统的结构性分解和零极点相消4.6能控规范形和能观规范形4.7实现问题4.8Matlab问题本章小结线性系统的结构分解和零极点相消(1/3)4.5线性系统的结构分解和零极点相消一个系统状态不完全能控,意味着系统的部分状态不能控,但也存在部分状态能控。到底哪一部分状态能控,哪一部分状态不能控的问题,对于控制系统的分析、设计和综合,显然是至关重要的。由前面的结论已知,系统的非奇异线性变换不改变能控性,那么是

2、否存在线性变换后将系统的状态变量中完全能控的部分和完全不能控的部分分离开来?对状态不完全能观的系统,也存在类似的区分哪些状态能观,哪些状态不能观的问题。线性系统的结构分解和零极点相消(2/3)难点喔!也存在能否基于线性变换将系统的完全能观部分和完全不能观部分分离开来?系统状态空间模型的状态能控性/能观性问题是系统的两个不变的结构性问题,描述了系统的本质特征的问题,它们与描述系统的输入输出特性的传递函数阵之间有何联系?本节主要讨论上述关于线性系统状态空间结构性的2个问题,即:状态空间模型的结构性分解以及传递函数阵与能控性/能观性的关系。线性

3、系统的结构分解和零极点相消(3/3)本节讨论的主要问题:基本概念:能控分解、能观分解、能控能观分解、零极点相消基本方法:能控分解、能观分解、能控能观分解、零极点相消判据本节讲授顺序为:能控性分解能观性分解能控能观分解系统传递函数中的零极点相消定理能控性分解(1/18)—能控性分解定理状态不完全能控,其能控性矩阵的秩为rankQc=rank[BAB…An-1B]=nc

4、性分解(2/18)其中nc维子系统是状态完全能控的。而n-nc维子系统是状态完全不能控的。能控性分解(3/18)—能控性分解定理证明利用能控性矩阵的列来构造变换矩阵P导出变换矩阵P的列与变换矩阵的行的关系进行线性变换,证明结论导出矩阵AP的列与变换矩阵P的列的关系证明下面的证明是构造性证明,即不仅证明本定理的结论,还构造出能进行能控结构分解的线性变换矩阵。以下证明过程的证明思路为:能控性分解(4/18)—能控性分解定理证明的秩为nc。即Qc中任何的列都可以由这nc个线性无关列向量p1,p2,…,线性表示。于是从Qc中总可以找到nc个线性无

5、关列向量p1,p2,…,,这nc个列向量构成能控性矩阵Qc的一组基底,证明过程:由于系统状态不完全能控,其能控性矩阵Qc=[BAB…An-1B]能控性分解(5/18)其中q1,q2,…,qn为n维行向量。同样,还可以找到n-nc个线性无关向量使如下线性变换矩阵:为非奇异的。将变换矩阵Pc选作能控性分解的变换矩阵,则可以作变换x=Pcx~。设Pc的逆矩阵可以记成能控性分解(6/18)由于p1,p2,…,为从能控性矩阵Qc中挑出来的一组线性无关的列向量并且组成Qc的一组基底,则Ap1,Ap2,…,A,亦属于矩阵AQc中的一组列向量。由于Pc-

6、1Pc=I,因此根据凯莱-哈密顿定理能控性分解(7/18)即矩阵AQc的列都可由矩阵Qc的列线性表示出来。因此,Ap1,Ap2,…,A都可由矩阵Qc的列线性表示出来,也必然可由Qc的基底p1,p2,…,线性表示出来。故所以,由式(4-52),必然有qiApj=0inc+1,jnc能控性分解(8/18)因此,有能控性分解(9/18)qiApj=0inc+1,jnc能控性分解(10/18)由能控性矩阵Qc的定义可知,B矩阵的列也可由Qc的基底p1,p2,…,线性表示出来。至此已证明了,当选择变换矩阵为Pc时,系统可分解为状态变量分别

7、为和的两个子系统。显然,以为状态变量的n-nc维子系统是状态完全不能控的。下面将证明以为状态变量的nc维子系统是状态完全能控的。因此,仿照上述证明,我们亦可证明得能控性分解(11/18)由于线性变换不改变系统的状态能控性,因此线性变换后的能控性矩阵的秩应等于变换前的能控性矩阵的秩。所以有能控性分解(12/18)根据凯莱-哈密顿定理,由上式又可推得通过对定理4-17的证明,对系统的能控性分解得到一个重要结论,即对任何一个状态不完全能控的线性定常连续系统,总可通过线性变换的方法将系统分解成完全能控的子系统和完全不能控的子系统两部,且变换矩阵P

8、c的前nc列必须为能控性矩阵Qc的nc个线性无关的列或它的一组基底。即和为能控矩阵对,亦即nc维子系统是状态完全能控的。能控性分解(13/18)对于这种状态的能控性结构分解情况如下图所示。能控