【线性系统课件】传递函数矩阵的零极点

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1、8.传递函数矩阵的零极点8.1极点和零点SISO系统：定义：零点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为0的那些s值。极点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为的那些s值。显然，零点是使G(s)的模为0的那些s值；极点是使G(s)的模为的那些s值。对MIMO系统，则要复杂得多。一.Rosenbrock对零极点的定义给定定义：G(s)的极点为M(s)中的根，i=1,2,…,rG(s)的零点为M(s)中的根，i=1,2,…,r例如所以，零点：s=0处有三个零点；极点：s=-1处有两个零点；s=-2处有三个极点。二.其它对零极点的定义1

2、.不可简约矩阵分式描述G(s)的极点：detD(s)=0的根，或，detA(s)=0的根G(s)的零点：使N(s)或B(s)降秩的s值。该定义等价于Rosenbrock定义。证：设G(s)的Smith-Mcmillan标准形为M(s),则则而对左不可简约MFD有同样的结论。2.G(s)严格真时，对应的状态空间描述{A,B,C}能控，能观则3.方便计算的定义（1）G(s)的所有非零子式的最小公分母，就是G(s)的极点多项式，记为p(s)，p(s)=0的根，即为G(s)的极点。（2）当G(s)的r阶子式，以p(s)为共同分母时，其分子的首1

3、最大公因式，即为G(s)的零点多项式z(s)，z(s)=0的根，即为G(s)的零点。注：各阶子式必须化为不可简约形式。例：（1）求极点G(s)的一阶子式即为其各个元素G(s)的二阶子式为（2）求零点上边的2阶子式以p(s)为分母，则有分母的首1最大公因式为(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零点为-1。几点讨论：（1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时，可以不形成对消。例（2）由定义3可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是它的某一元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极点，也是G(s)的极点。“一致性”（3）对零

4、点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管有时相同。（4）若s=是G(s)的零点，则必有但不一定rankG(s=)

5、的特征值设v是与相关联的特征向量，即（I-A）v=0则（sI-A)v=(sI-A)v-(I-A)v=(s-)v系统输出r=cv是不为0的常数？！{A，c}能观：由PBH秩判据，等价于[sI-A’,c’]满秩，sC对非零向量v，应有但已有（I-A）v=0，故cv0必要性得证。充分性：由导出是g(s)的极点。定理的意义：若是g(s)的极点，则能用初始状态在输出端产生模态而不必施加任何输入；若不是g(s)的极点，则这是不可能的。在输出端产生的唯一途径是在输入端施加对MIMO系统，有相同的结论。即：考虑具有正则传递矩阵G(

6、s)及不可简约实现{A,B,C,D}的多变量系统。数是G(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初始状态x0，使得系统输出端的零输入响应为，其中r为非零向量。2.关于零点证明见书G(s)<<>>{A,B,C}满足阻塞传输性。所以，前面定义的零点也叫传输零点。8.2结构指数rankG(s)=r定义：则是G(s)的有限极点和零点的集合。几点讨论（1）不管是零点，还是极点，统一表达成一个对角阵形式。（2）零极点的重数在s=处的极点重数={}中负指数之和取绝对值在s=处的零点重数={}中正指数之和8.3无穷远处的零极点一.无穷远处零极点的定

7、义SISO系统：s时，若G(s)趋于0，则在处有零点；若G(s)趋于，则在处有极点（非真时）MIMO系统：在G(s)中，以代入，化成H()有理分式矩阵，对应的Smith-Mcmillan标准形为则：只需确定无穷远处零极点的个数。例：无穷远处的极点：=0，2个无穷远处的零点：=0，1个