线性系统极点配置问题.doc

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1、线性系统极点配置问题张颖(控制学院检测技术与自动化装置)摘要：极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。机点配置实质上是对经典控制理论综合方法的一个直接推广。本文针对单输入连续时间线性时不变受控系统，基于状态反馈类型控制，系统讨论极点配置问题的综合理论和综合算法。1.问题的提出：状态反馈的极点配置问题状态反馈的极点配置问题：就是对给定的受控系统，确定状态反馈律u=-Kx+v,v为参考输入即确定一个的状态反馈增益矩阵K，使所导出的状态反馈闭环系统的极点为{}，也就是成立解决上述极点配置问题，需要解决两个问题：1）建立可配置条件问题，

2、即利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件。2）建立相应的算法，即用以确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。2.问题的解决：〈一〉准备知识1.循环矩阵定义：如果系统矩阵A的特征多项式等同于其最小多项式，则称为循环矩阵。2.循环矩阵特性：1）A为循环矩阵，当且仅当它的约当规范形中相应于每一个不同的特征值仅有一个特征块。2）如果A的所有特征值为两两相异，则对应于每一个特征值必仅有一个约当块，因此A必定是循环的。3）若A为循环矩阵，则其循环性是指：必存在一个向量b，使向量组可张成一个n维空间，也即{A，b}为能控。4）若

3、{A，B}为能控，且A为循环，则对几乎任意的实向量p,单输入矩阵对{A，Bp}为能控。5)若A不是循环的，但{A，B}为能控，则对几乎任意的常阵K，A-BK为循环。〈二〉极点可配置条件线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充分必要条件，是此系统为完全能控。证：必要性：已知可配置极点，欲证{A，B}为能控。利用反证法，假设{A，B}不完全能控，则必可分解为：上式表明，状态反馈不能改变系统不能控部分的特征值，因此不可能任意地配置极点，与已知前提矛盾，故假设不成立。所以{A，B}为能控。充分性:已知{A，B}为能控，欲证可配

4、置极点。分三步来证明：（1）使系统矩阵A为循环矩阵。若是即可。是循环阵，则可予置一个状态反馈，使得（2）化多输入系统的极点配置问题为等价的单输入系统的极点配置问题。表明对任给{}都必可找到使上式成立，即可任意配置闭环极点。<三>算法1单输入极点配置问题的算法给定能控矩阵对{A，b}和一组期望的闭环特征值{}，要确定的反馈增益据阵k，使成立第一步：计算A的特征多项式，即第二步：计算由{}所决定的多项式，即第三步：计算第四步：计算变换阵第五步：求第六步：所求增益阵例：给定单输入线性定常系统2多输入极点配置问题的算法算法一：1）条件：给定

5、能控矩阵对{A，B}和一组所期望的闭环特征值{}，要确定的反馈增益矩阵K，使成立。2）算法：第一步：判断A是否为循环矩阵。若否，选取一个常阵，使为循环，并表示为；若是，则。第二步：对循环阵，通过适当选取一个实常向量，表示为，且{}为能控。第三步：对于等价单输入问题{}，利用单输入极点配置问题的算法，求出增益向量k。第四步：当A为循环时，所求的增益矩阵；当A为非循环时，所求的增益矩阵为。算法二：1）条件：同上。2）算法：第一步：把能控矩阵对{A，B}，化为龙伯格规范形。假设n=9,p=3.如：第二步：把给定的期望闭环特征值{}按龙伯格

6、规范形的对角线块阵的维数，相应地计算第三步：取由此可导出：由给定的矩阵对{A，B}，计算出变换矩阵第五步：所求状态反馈增益矩阵即为。算法三例：给定多输入线性定常系统规范形方案2<四>状态反馈对传递函数矩阵的零点的影响（一）单输入—单输出系统1分析给定完全能控线性定常系统2结论：（1）比较（1）、（2）式，一般情况下，引入状态反馈虽能使g(s)的极点移动位置，但却不影响g(s)的零点。（2）设某些极点在状态反馈引入后被移动到与g(s)的零点相重合，而构成对消的情况下，则此时状态反馈也影响了g(s)的零点，并且造成了被对消掉的那些极点成

7、为不可观测。（二）多输入—多输出系统利用状态反馈可以影响受控系统的G(s)的元传递函数的零点。3.应用小结3.1一般地说，利用非动态输出反馈(v为参考输入），不能任意地配置系统的全部极点。3.2对于能控和能观测的受控系统{A，B，C}，令系统的维数为n，且rankB=p,rankC=g，则采用非动态线性输出反馈，可对数目为min{n,p+q-1}个闭环极点进行“任意地接近”式配置，即可使它们任意地接近于指定的期望极点位置。3.3如果在引入输出反馈的同时，附加引入补偿器，那么通过适当选取和综合补偿器的结构和特性，将可对所导出的输出反馈

8、系统的全部极点进行任意地配置。3.4用到的矩阵论知识矩阵特征值，特征向量，矩阵的约当规范型，矩阵的秩，矩阵的相似变换。