8 传递函数矩阵的零极点

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1、2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案第七章：矩阵分式描述传递函数矩阵的矩阵分式描述是复出频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。采用矩阵分式描述（MFD）和多项式矩阵理论可使线性时不变系统的频域分析和综合的理论和方法简便和实用。主要介绍：1、矩阵分式描述的形式和构成2、矩阵分式描述的真性和严真性3、矩阵分式描述的不可简约性7-1矩阵分式描述的基本概念矩阵分式描述（MFD）的实质：就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之比。MFD形式上是对标量有理分式形式传递函数g(s)相应表示的一种推广右MFD：对p输

2、入，q输出线性时不变系统。有理分式矩阵G(s)，存在多项式矩阵和多项式矩阵使下式成立：称为G(s)的一个右MFD。左MFD：称为G(s)的一个左MFD。例：8.1构造G(s)的一个右MFD，方法：先确定各列的最小公分母，2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案可见：，G(s)的一个左MFD的构造，先确定各行的最小公分母。可类似求得。MFD的特性：1、MFD的实质类似于标量形式：分式化表示：称为的分母阵，一般2、MFD的次数规定MFD的次数=分母矩阵行列式的次数。3、MFD的非唯一性一个，MFD表达不唯一且次数也不唯一。所有的MFD中次数最小的MFD

3、称为最小阶MFD。最小阶MFD也不唯一。通常称最小阶MFD为不可简约MFD，不可简约MFD的判据、属性见本章7.44、MFD的基本特性对的MFD，不管是右MFD，还是左MFD。表征其结构特性的两个基本特性为真性严真性和不可简约性。2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案7-2真性和严真性真性严真性是表征其物理可实现性的一个基本特性，或者说只有真性或严真性MFD所表征的系统才是用实际物理元件可以构造的。1、真性和严真性真性定义：对所有的元满足严真性定义：对所有的元满足另一种定义：真性：（非零常阵）严真性2、MFD真性严真性MFD严真的充分必要条件：传

4、递函数阵为严真。MFD真的充分必要条件：传递函数阵为真。3、真性及严真性判定以MFD形式给出时，基于定义判定真性及严真性十分不便。MFD的分母矩阵为既约和非既约时，给出判定方法。分母矩阵为既约阵情形：列既约右MFD为列既约，为真的充分必要条件：（表示列数）严真的充分必要条件：2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案行既约左MFD为行既约，为真充要条件：（）为严真充要条件：（）分母矩阵为非既约阵情形：（见448）7-3从非真矩阵分式导出严真矩阵分式基本结论右MFD除法定理：对非真右MFD存在唯一、使且是严真右MFD。进一步有：列既约时，则和在列次上有

5、如下关系：左MFD除法定理：（见450）确定严真MFD算法：（见451，例6）7-4不可简约矩阵分式描述最简结构也称最小阶MFD，对系统分析与综合多以此为基础。不可简约MFD定义和属性：不可简约MFD矩阵不可简约MFD定义：称的一个2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案右MFD为不可简约或右不可简约，当且仅当，右互质。的右互质、左互质统称不可简约MFD不可简约MFD性质1、不可简约MFD不唯一2、3、见例8