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1、方法技巧构造齐次方程巧解一类圆锥曲线问题广西南宁三中(530021)黎承忠解析几何中,很多问题常涉及到以二次曲又设两直线方程为:y=x,y=x,则两直线的弦为直径的圆的方程.若用圆心和半径的线垂直的充要条件为=0,即方法求解,一般较麻烦,这里介绍两种简捷的EmFm2C-+2nn2方法.2=-1或(A+C)n-(Dl+DlFl第一种方法A-n+n2引理:已知二次曲线C:f(x,y)=Ax2+22Em)n+F(l+m)=0.Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,直线L:lx+第二种方法my+n=0.则L与C交于P,Q两点且弦PQ若直线L与二次曲
2、线C有两个交点A,B,对原点张直角弦的充要条件为:(A+C)n2-则将直线方程与二次曲线方程联立,分别消去(Dl+Em)m+F(l2+m2)=0(*).x,y,所得的关于x和y两个一元二次方程(让证明:若曲线C过原点且P,Q在坐标轴二次项系数相同),相加即得以AB为直径的圆上,则F=0,且P(-n,0),Q(0,-n)满足的方程.应用这个方法解决有关问题是较方便lm的.f(x,y)=0,代入相加便得(*).方法一的应用若P,Q不在坐标轴上,L不过原点.n∃例1%设A和B为抛物线y2=4px(p>lx+my0,由lx+my+n=0,得1=.-n0)上
3、原点以外的两个动点,已知OA&OB,代入f(x,y)=0中得Ax2+Bxy+Cy2+OM&AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示lx+mylx+my2什么曲线.(Dx+Ey)()+F()=0.!(目-n-n2解析:设AB:mx+ny=1,代入y=4px的在于变成齐次式)中得y2=4px(mx+ny)4pmx2+4pnxy-∀!是齐次方程,设L与C的交点坐标为y2=0.(x0,y0),则∀OA&OB,k1k2=-4pm=-1.Ax220+Bx0y0+Cy0+(Dx0+Ey0)#1lx0+my0lx0+my02m=4p!(-)+F(-)nnn=Ax22
4、又OM方程为y=x,即y=4pnx∋0+Bx0y0+Cy0+(Dx0+Ey0)+mF=0.把!、∋代入mx+ny=0得x2+y2=4px(x0,y0)满足!,!代表过原点且与L或(x-2p)2+y2=4p2(x0).与C的交点(x0,y0)的两条直线方程,!可化M点轨迹是以(2p,0)为圆心,2p为半为:径的圆(除原点).DlFl2DmEl(A-+)x2+(B--+∃例2%已知抛物线R的顶点、焦点在xnn2nn2轴上,(ABC的重心在抛物线的焦点上,且三2FlmEmFm2n2)xy+(C-n+n2)y=0.个顶点均在抛物线上,若BC所在直线为4x
5、+1010方法技巧y-20=0.∃例4%已知曲线C220:x+y=1和C1:())求抛物线R的方程;(∗)是否存在定b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),试问:当且仅当a、点M,使过M的动直线l与R交于P、Q,且b满足什么条件时,对C1上任意一点P,均存+POQ恒为直角?证明你的结论.在以P为顶点,与C0外切,与C1内接的平行解析:())设抛物线方程为y2=2px(p四边形?并证明你的结论.0),A,B,C三点分别是(x221,y1),(x1,y2),(x3,解析:设圆x+y=1上切点为(x1,y1),y3),则切线PQ方程为x1x+y1y=
6、1,又因PQ对Oy2=2px,点张直角(因圆外切平行四边形为菱形,圆心由8x2-(p+80)x+y=-4x+20.为中心,对角线互相垂直),将PQ方程代入200=0.b2x2+a2y2=a2b2得x222222222+x3=(p+80)/8,y2+y3=-4,bx+ay=ab(x1x+y1y)(b-(x2+x3)+40=-p/2,a2b2x21)x2-2a2b2x1y1xy+(a2-a2b2y21)y2=0,从而x1=(11p-80)/8,y1=p/2,代入a2-a2b2y21=-1,得a2+b2=a2b2#b2-a2b2x2y2=2px中,得p
7、=8.12222R的方程为y2=16x.(x1+y1)=ab.(∗)设存在定点M(x0,y0),则PQ方程为a,b应满足条件为1+1=1.a2b2lx+my-lx20=0代入y=16x中得∃例5%双曲线中心在坐标原点,焦点在y2=16x(lx+my)16lx2-16mxy-lx0+my0x轴上,过双曲线的右焦点且斜率为3/5的直(lx0+my0)y2=0.线交双曲线于P,Q两点.若OP&OQ,且-(lx0+my0)
8、PQ
9、=4,求双曲线方程.=-1l(x0-16)+16l解析:设所求双曲线方程为b2x2-a2y2=my0=0恒成立.定点为
10、(16,0).a2b2!∃例3%抛物线y2=p(x+1)(p>0),直3322l的方程为y=
