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《齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、“齐次式”法解圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：例题、（07山东）已知椭圆C：若与轴不垂直的直线与曲线C相交于A，B两点（A，B不是左
2、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。解法一（常规法）：设，由得，，以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，，，（*），（**）整理得：，解得：，且满足当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）◆模型拓展：本题还可以拓展为：只要任意一个限定AP与BP条件（如定值或定值），直线AB依然会过定点。此模型解题步骤：Step1：设AB直线，
3、联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；Step2：由AP与BP关系（如），得一次函数；Step3：将代入，得。方法评估：此方法求解过程中（*）（**）化简整理计算非常繁琐。下面介绍齐次式法。（上述方法改进还有“点乘双根法”）解法二（齐次式法）由以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，知，即。（为定值）依题意直线不过椭圆的右焦点设直线，由得（凑出因式）故（此式不是齐次式，有2次式和1次式，下面齐次化）故（1的代换）即（下面凑出斜率。两边同除）故，（因为是直线与曲线的交点，故的坐标满足此式，即是相应方程的解）故，解得，代入得，由得，故过定点。变式此题若改为：已知椭圆C：的右顶点，若直线与椭圆C相
4、交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且3，,求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。此题用传统法解得时要计算，，化简变形比原题更难，用齐次式法，与原题类似。解：由原题齐次式解法得，故解得，代入，知，过定点。变式此题若改为：已知椭圆C：上一点，若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且，,求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。◆迁移训练练习1：过抛物线M:上一点P（1,2）作倾斜角互补的直线PA与PB，交M于A、B两点，求证：直线AB过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）练习2：过抛物线M:的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点。（经典例题，多种解
5、法）练习3：过上的点作动弦AB、AC且，证明BC恒过定点。（本题参考答案：）练习:4：设A、B是轨迹：上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标。（参考答案）【答案】设，由题意得，又直线OA,OB的倾斜角满足，故，所以直线的斜率存在，否则，OA,OB直线的倾斜角之和为从而设AB方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①由，得1＝==将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即所以直线恒过定点.练习5：（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方
6、程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线过定点.【答案】解:(Ⅰ)A(4,0),设圆心C(Ⅱ)点B(-1,0),.直线PQ方程为:所以,直线PQ过定点(1,0)练习6：已知点是平面上一动点，且满足（1）求点的轨迹对应的方程；（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.【解】（1）设（5分））第22题练习7：已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（I）证明:为定值;（II）若△POM的面
7、积为，求向量与的夹角；（Ⅲ）证明直线PQ恒过一个定点.解：（I）设点、M、A三点共线，(II)设∠POM=α，则由此可得tanα=1.又(Ⅲ)设点、B、Q三点共线，即即由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.模型二：切点弦恒过定点例题：有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.（1）求证：直线AB恒
