专题：与圆锥曲线有关的问题

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1、16专题：与圆锥曲线有关的问题【内容地位】圆锥曲线是高考的重中之重，高考对圆锥曲线的考查，主要考查圆锥曲线的的定义、标准方程、几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系和求轨迹方程等内容。涉及的数学思想方法主要有数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、整体思想，以及配方、换元、构造、待定系数法等数学方法。将解析几何知识和向量知识综合于一题，这是近年高考数学命题的一个新的亮点．以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点处设计问题也是近几年高考的一大特点。【常见结论及应对思路】1．中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为Ax2+Bx2

2、＝1.2．共渐近线的双曲线标准方程为为参数，≠0）.3．焦点在轴上或轴上的抛物线方程可统设为或4．焦半径、焦点弦问题(1)椭圆焦半径公式：在椭圆＝１中，F１、F２分别左右焦点，P(x0，y0)是椭圆是一点，则：①

3、PF1

4、=a+ex0②

5、PF2

6、=a-ex0过椭圆（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦.（2）双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c，0)，F2(c，0),则：①当P点在右支上时，；②当P点在左支上时，；（e为离心率）（3）抛物线焦半径公式：设P（x0，y

7、0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px（p<0）上任意一点，F为焦点，则；（4）抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1，y1）、B(x2，y2)，则有如下结论：①＝x1+x2+p；②y1y2=－p2，x1x2=.③．（5）已知抛物线y2=2px(p>0)，过(2p,0)作直线交抛物线于两点，则有如下结论：结论1：OA⊥OB．结论2：以弦AB为直径的圆经过坐标原点O．结论3：当AB⊥x轴时，SΔAOB最小．结论4：过O点作OM⊥AB，垂足为M，则M点必在某一圆周上．16（

8、6）椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p；双曲线（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b.(7)已知椭圆方程，焦点为F1，F2，P是椭圆上一点,∠F1PF2=．则：△F1PF2的面积等于．双曲线中有类似结论。5．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则弦长,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想.6．中点弦问题处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2

9、,y2)为椭圆（a>b>0）上不同的两点，M(x0，y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a>0，b>0），类似可得：KABKOM=；对于y2=2px（p≠0）抛物线有KAB＝；另外，也可以用韦达定理来处理.7．求与圆锥曲线有关的轨迹问题的常用方法（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x，y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（3）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由

10、条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（4）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)的变化而变化，并且Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；16（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.【解题思路与方法】（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减

11、少或避免错误的一个关键.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法(点差法)”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充

12、分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过