构造不定方程解决一类计数问题.pdf

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1、2012年第2期中学数学研究39构造不定方程解决一类计数问题湖北省阳新县高级中学(435200)邹生书关于不定方程的整数解的个数问题有如下结路灯，则满足条件的关灯方法有一——种．论(可用隔板法证明这里从略)：分析：此题的传统解法是如下的“插空法”：先定理不定方程l+2+⋯+=m(m，n∈将亮着的5只灯(两端的路灯除外)当作5个元素排』】V，n≥2)．(1)当mn时，方程正整数解有c成一列，于是形成6个空档，从中选出3个空档把关个；(2)方程的自然数解有c一个．掉的3只灯当作3个元素插入其中，这样共有C：=运用这个定理可

2、以解决一些计数问题，解决问20种插法，从而满足条件的关灯方法有20种．下面题的关键是设未知数构造不定方程，然后将计数问用构造不定方程的方法再解此题，其解法如下．题转化为不定方程的整数解的个数问题．解：关掉的三只灯把亮着的7只灯依次分割成例1(07年全国高中数学联合竞赛四川初赛题四个部分，设这四个部分亮着的灯的个数分别为．，第11题改编)不等式。+2+3+4≤13的正整2，，4，则有1+2+3+4=7．依题意问题转化数解的组数为——．为求这个不定方程的正整数解的个数问题．由定理解：所求不等式的正整数解的组数，就是如下9易

3、求得这个不定方程的正整数解的个数为Ci=20，个不定方程：l+2+3+4=m(m=4，5，⋯，12)从而满足条件的关灯方法20种．的正整数解的个数之和，由定理知其值为c；+ci+例5一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻两人之间至少有两个空椅子，共有几种不同的坐c+⋯+c2=c3=715．法?例2(0+b+C+d)”展开式合并同类项后共解：这三个人坐下后把长椅上的空位从左到右有——项．分割成四部分，设这四部分的空位个数分别为，解：展开式一般项的表达式为kabcd，其中2，3，4，贝0有．+2+3+4=6，且10，2—+

4、Y++W=11且，Y，，∈N，因为展开式的项20，3—20，4≥0．乏Yl：1，Y2=2—2，Y3与不定方程的自然数解一一对应，所以问题转化为=3—2，Y4=4，贝0Yl+Y2+Y3+T4=2且Y。∈N(i求这个不定方程的自然数解的个数问题，由定理知解的个数为c=364，故展开式合并同类项后共有=1，2，3，4)，由定理易求得此方程的自然数解的个数为．另外，在上述每一种“空位”方法中这三个364项．人又有A种坐法，故不同的坐法共有4i=60种．例3将20个相同的小球放入编号为1，2，3，4例6(1988年全国高中数学联

5、赛题)甲、乙两队的四个盒子中，要求每个盒内的球数不小于盒子的各出7名队员按事先排好的顺序参加围棋擂台赛，编号数，问有多少种放法?双方先由1号队员比赛，负者被淘汰；胜者再与负方解：设四个盒子所放的球数分别为，，，，2号队员比赛，⋯⋯直到一方队员全部被淘汰，另一则有1+2+3+4=20，依题意还应满足l1，2—11，3—21，4—3≥1，1殳Y1=1，Y2=方才算获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数是多少?2—1，Y3=3—2，Y4=4—3，贝0Yl+Y2+Y3+=14，于是问题转化为求这个不定方程

6、的正整数解解：当甲队获胜时，那么甲方共淘汰乙方7名队员，设甲方i(=1，2，⋯，7)号队员淘汰乙方个队的个数问题．由定理易求得这个不定方程的正整数解的个数为C3．=286，从而满足条件的放法有286员，则有++⋯+=7．于是问题等价于求这种．个方程的自然数解的个数问题，由定理求得解的个数为c。，即当甲队获胜时有c种比赛过程．同理，例4马路上有编号为1，2，3，⋯，10的l0只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不当乙队获胜时也有c种比赛过程，故所有可能出能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的现的比赛过程

7、有2c=3432种．中学数学研究2012年第2期例7从1，2，3，⋯，14中按从小到大的顺序取定方程的正整数解的个数，然后减去不符合条件的出口l，Ⅱ2，n3，使得同时满足02一Ⅱ13，n3—023，正整数解的个数．由定理容易求出不定方程正整数那么所有符合上述要求的不同取值方法种数为解的个数为c．显然三个未知数都相等的解只有一个，那么三解：从1，2，3，⋯，14中按从小到大的顺序选出个未知数中恰有两个相等的正整数解有多少个呢?口。，口：，0，，那么这三个数把余下的11个数分成四部先看一种特殊情形=：≠。的正整数解的分，设

8、这四部分所含数字的个数分别为，：，，，，r11则l+2+3+4=11，依题意还应满足10，2个数问题，因为{【3．≠24，所以1—20，3—20，40．，：24—2。1设Yl=】，Y2=2—2，Y3=3—2，Y4=4，贝0Y。+Y+Y+Y4=7．于是问题等价于求这个不定方，且l≠8，又l∈Ⅳ‘，所以满足条件1=2≠程的自然数解的个