探究一类不定方程之源—— pell方程

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1、探究一类不定方程之源——Pell方程不定方程是数论中的一个古老的分支，无论是一元还是多元，一次还是高次，都散发着数论独特的魅力，诠释着数论的奇妙精深。双曲线或椭圆的二元二次不定方程想必我们在解析几何中对其实数解的性质、分布、变化趋势早已娴熟。而我们所研究的是ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(※)(a、b、c、d、e、f∈N)的整数解问题。然而熟悉不定方程的读者明白，如此六项二次的不定方程十分棘手。因此首先我们用熟知的配方方法对其进行如下处理：(※)两边同时乘上a,得a2x2+abxy+acy2+dax+aey+af=0bd22变形得（ax+y+）2+(a

2、c-b)y2+aey+af-d=02244即(2ax+by+d)2+(4ac-b2)y2+4aey+4af-d2=0(1)设2ax+by+d=m4ac-b2=t22+设t=αβ(α、β∈N，且β≠±nn≧2n∈N)22则（1）式化为m2+4ae2216aeβ(αy+)=d-4af+22αβ4αβ2两边同时乘上4α2β得（22222222222αβm）+β(2αβy+4ae)=4αβd-4αβaf+16aeβ(2)设2αβm=p，2α2βy+4ae=q，β=d，4α2β2d2-4α2β2af+16a2e2β=C则（2）式化简为p2+dq2=C由上易知（※）每一个解（

3、x、y）都对应一组（p、q），因此我们成功地将原先复杂冗长的（※）转化为p2+dq2=C这一优美的方程。当d为正整数或0时，由枚举法可很快地写出方程的所有解，而当d为负整数时，我们需要对方程x2-Dy2=C(2)进行研究，而当C=1，x2-Dy2=1就是所谓佩尔（Pell）方程，其中D是整数，我们首先对x2-Dy2=1进行研究。一、x2-Dy2=1型有许多数论问题都可归结到佩尔方程的求解，佩尔方程解的性质是我们讨论一些数论问题的工具，在数学竞赛中经常用到。我们先交待一个概念性问题，Pell方程x2-Dy2=1的最小正解（x0、y0），什么是最小正解?若x=u，y=

4、v是满足x2-Dy2=1的整数，我们把u+vD称为方称的一个解，对于方程的两个解u+v'''D和u+vD，如果u=u，v=v'则称两解相等，如果u+vD＞u'+v'D则称第一个解大于第二个解，所以最小正解即为min{u+vD

5、u2–Dv2=1u＞0，v＞0}，且对（1）的任一组正整数解必有(x、y)，必有x0≦x，y0≦y，这一点由反证法易得。这个最小正解十分重要，是解Pell方程的关键。而这最小正解的求法有观察法和连分数法。连分数法较高深，在《初等数论》（潘成桐著）中有详细的解释，对我们来说并不适用。观察法需要一些尝试（而值得指出的是，有时有观察法求最小解n是不

6、可能的，例如波兰数学家W.sirpinki给出方程x2-991y2=1的最小正整数解,x、y均已是1024级的正整数，这是不能忍受的冗长计算，或许这正是理论与实践的矛盾所在，当然这种情况很少见，实际应用上并不会如此刁难）。下面，我们去探索Pell方程根最基本也是最重要的性质：定理1：方程（1）有无穷多组正整数解，其全部解可由它的基本解（xn0，y0）依如下形式表示：xn±ynD=(x0±y0D)(3)+这里n为任意正整数，xn、yn∈N（x0，y0）为（1）的最小解。定理一也可以用如下形式表示(实际上是在定理1中反解出xn，yn，因此xn，yn为正整数)，方程（1

7、）的全部解用如下形式表示1xnnn=（（x0+y0D）+（x0-y0D））21ynnn=（（x0+y0D）-（x0-y0D））(4)2√D下面笔者结合冯志刚老师在《初等数论》中证明和刘培杰老师在《数学奥林匹克试题背景研究》中的证明对定理一给出可能较容易为我们学生所接受的证明：首先所有满足（3）（4）式的x22n、yn均为x–Dy=1的解。22这是因为x–Dy=(xn+ynD)(xn-ynD)nn=（xnn0+y0D）(x0-y0D）=（22n=1x–Dy）00其次证明满足（3）、（4）式的xn、yn即为方程（1）的全部解。设x',y’为满足x2–Dy2=1的解∞k

8、-1k+(1,∞)=∪[(x0+y0D),(x0+y0D)](k∈N)k−1由于x'+y'D≧x0+y0D，则存在正整数k，使得(xk-1''k0+y0D)＜x+Dy≦(x0+y0D)两边同时乘上(xk-10-y0D)有(22k-1＜(x'+y'k-1≦(22k-1(xx-Dy)D)(x0-y0D)x-Dy)0+y0D)0000即1＜(x'+y'k-1≦xD)(x0-y0D)0+y0D由(3)知(xk-10-y0D)=xk-1-yk-1D故1＜(x'+y'D)(xk-1-yk-1D)≦x0+y0D即1＜(x'x'''k-1-Dyyk-1)+(yxk-1-xyk-1

9、)D≦x0