不定方程和解不定方程应用题经典

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1、不定方程研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程一一不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。二、不定方程的解法1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的収值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。如：方程x+y+z二100共有儿组正整数解？解：当x=1Wy+z=99,这吋共有98个解：(y,z

2、)为(1,98)(2,97)……(98,1)0当x=2时y+z=98,这时共有97个解：(y,z)为仃,97)(2,96)……(97,1)。当x=98时，y+z=2,这时有一个解。98x99•・•98+97+96++1==4851・•・方程x+y+z=100共有4851个正整数解。2、表格记数法如：方程式4x+7y=55共有哪些正整数解。解：X1234512y51747T43T39T51XXXXV.:方程4x+7y=55的正整数解有x=5x=12y=5y=13、分离系数法如：求7x+2y=38的整数解心38-7X“r1解：y==19-3x--x22t=—X2x=2t38y=一2t>0

3、19-7t>0(t为整)2->t>07t=2,x=2X2=4x=4t=2时，尸19-7X2=5y=5当t=l吋,x=2Xl=2x=2y=19-7Xl=12y=12第四十周不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少吋，我们就称这样的方程为不定方程。如5x—3y=9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x—3y=9的解有：(x=2.4仗=2.7(x=3.06「x=3.6ly=ily=i.5(y=2.i(y=3如果限定X、y的解是小于5的整数，那么解就只有x=3,Y=2这一组了。因此研究不定

4、方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围,减少试验的次数。对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。解答应用题时，要根据题中的限制条件(有时是明显的，有时是隐蔽的)取适当的值。例1.求3x+4y=23的自然数解。先将原方程变形，y=「—。可列表试验求解:X1234567Y5XXX2XX所以方程3x+4y=23的自然数解为"X=l”Y=5练习一1、求3x+2y=25的自然数解。2、求4x+5y=3

5、7的自然数解。3、求5x—3y=16的最小自然数解。例2咅下列方程组的正整数解。J5x+7y+3z=25〔3x—y—6z=2这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不左方程。'5x+7y+3z=25①〜3x-y-6z=2②I由①X2+②，得13x+13y=52X+y=4③把③式变形，得y=4—X。因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x=l时，y=3当x=2时，y=2当x=3时，y=l把上面的结果再分别代入①或②，得x=l,y=3时，z无正整数解。x=2,y=2时，z也无正整数解。x=3时，y=l时，z=1.所以，原

6、方程组的正整数解为rx=l0,y>0,x+y>9)y=(99-12y)十5经检验，符合条件的解有:

7、x=2

8、x=7y=15y=3

9、所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。练习3・1、某校6(1)班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？(大、小船都有)2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共儿枝？3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？例题4买三种水果30千克，共用去80