不定方程解应用题.doc

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1、不定方程解应用题(二)采购员用一张1万元支票去购物。购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张)。如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反。问购A物几个，B物几个？解：设购A种物x个，购B种物为x＋y个，并设第一次购物找回r张100元，s张10元，则这是4个未知数，2个方程的不定方程组。解方程时，方程变形的一些法则(方程两边同时乘或除以不为0的数，方程不变；方程两边同时加或减一个数，方程不变)仍适用。先将(1)(2)两边约

2、去10，得由于(3)(4)式的右边都等于1000，因此它们相等，整理后得8y＋9r－9s＝0，再在方程两边同时加上9s－9r，得：8y＝9(s－r)由于y是大于0的整数，所以s－r也是整数＞0。因此8｜9·(s－r)，9｜8y。应有，k为大于0的整数。但是s是10元钱的张数，s≤9，r是100元钱的张数，所以k＝1，因此y＝9，s－r＝8。显然s＝9，r＝1。代回(3)式：得到x＝3。所以：x＝3，x＋y＝3＋9＝12，r＝1，s＝9。采购员购A物3件，B物12件，找回1张100元，9张10元。　　1、有一捆树苗，每人种6棵还余4棵，每人种5棵还余3棵

3、，这捆树苗最少多少棵？2、李家和王家共养521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有113是母牛，李家和王家各养多少头牛？3、一名学生去商店买足球，足球23元钱一只，若该生身上的钞票都是2元一张的，而商店的钞票都是5元一张的，试问学生应该怎么付钱？4、A、B、C三个微型机器人围绕一个圆形轨道高速运动，它们顺时针同时同地出发后，A在2秒钟时追上B，2.5秒钟时追上C，当c追上B时，C和B的运动路程之比是3：2，问第一分钟时，A围绕这个圆形轨道运动了多少圈？5、设有一框苹果，把它们三等分后还剩1个苹果，取出其中两份后，将它们五等分后还剩4个苹

4、果，然后再取出其中三份，将它们四等分后还剩2个苹果，问这框苹果至少有几个？6、某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m位男生和11位的捐款总数与乙班的9位男生和n位女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数韩信点兵和不定方程　　和书的作者不详，但后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。在中国还流传着这么一首歌诀：                     三人同行七十稀，                     王树梅花甘一枝，                

5、     七子团圆正半月，                     除百零五便得知。　　它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止。所得结果就是某数的最小正整数值。 　　用这首歌诀来计算上面的“韩信点兵”问题，我们便得到以下的算式：      1×70+2×21+2×15=142，      142－105=37，即这群士兵共有37名。　　《孙子算经》上还有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之

6、余三，七七数之余二，问物几何。”用上面的歌诀来算，便得到算式：       2×70+3×21+2×15=233，        233－105×2=23，即所求物品最少是23件。　　上面的“韩信点兵”问题，我们可以表示成方程或方程组。　　设士兵共有m名。m除以3，5，7所得的商分别为x，y,z，那么由题意，有　　这是一个“未知数的个数（这里有m，x，y，z共4个）多于方程的个数（这里有3个）”的方程组。它可以合并成一个方程（将3个方程相加）              3x+5y+7z+5=3m。　　这个方程中含有2个或2个以上的未知数。我们把这样的方

7、程叫做不定方程，把前面这样的方程组叫做不定方程组。这个不定方程组还可以写成        3x+1=5y+2=7z+2=m的形式。上面所例举的方程或方程组都有无限多个正整数解（这是因为方程或方程组本身没有m

8、了他后来研究整数性质以至于“数论”的兴趣。外国数学界也很重视，并把“大衍求一术”称为“中国剩余