用不定方程解应用题.doc

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1、用不定方程解应用题知识要点在应用题中出现了两个(甚至更多)未知量，而数量关系却少于未知量的个数，我们列出的就是不定方程。不定方程一般是指未知数的个数通常多于方程个数的方程。这样的方程的解通常不止一个。列方程解应用题时,出现未知数的个数多于所列方程的个数,这样的方程叫做不定方程.不定方程往往有无数解,因而这种方程解得个数由题目中关于未知数的限制条件来决定,因在解题过程中要特别注重对所设未知数的限制条件(有时是隐蔽的)的分析.解不定方程是可以用以下原则来缩小范围。[原则一]：系数大的开始讨论[原则二]：奇偶性讨论[原则三]：倍数原理[原则四]：尾数

2、原理（运用条件：出现5的倍数）例1求不定方程5x+3y=22的解，这里x,y为自然数。解析由5x+3y=22可知x≤4，这样可以依次试出方程的解：当x=l时，3y=17，y=与y为自然数矛盾。当x=2时，3y=l2，y=4。当x=3时，3y=7，y=，与y为自然数矛盾。当x=4时,3y=2，y=，与y为自然数矛盾。先确定一个未知数的取值范围，再依次试出这些未知数的值。练一练1求不定方程5x+9y=104的整数解。答案：X=19,Y=1;X=10,Y=6;X=1,Y=11例2一个工人将99颗弹子装人两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰

3、好装完，已知盒子数大于10，这两种盒于各有多少个?解析设大盒子有x个，小盒子有y个，x与y为自然数，x+y>10，所以列不定方程如下：12x+5y=995y=99-12x因为99-12x≥0，所以x≤8，又99-12x是5的倍数，个位数字只能为0或5，那么12x的个位数字只能为4,x可取2或7。当x=2时，y=15；当x=7时，y=3，但7+3=10，不符合题意。大盒子有2个、小盒子有15个。本题关键是先列出相应的不定方程，再判断x的范围。练一练2装水瓶的盒子有大小两种，打得能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。问需大，小盒子各多少个

4、？答案：大盒子3个，小盒子5个。例3甲种商品7元一份，乙种商品3元一份，小明用60元恰好买两种商品共多少份?解析设小明买甲种商品x份，乙种商品y份，可以列不定方程如下：7x+3y=60，由于3、60均为3的倍数，且60-7x≥0，x≤8，又因为7x一定能被3整除，所以：当x=3时，y=13，此时3+13=16；当x=6时，y=6，此时6+6=12。所以小明用60元买两种商品16份或12份。本题关键是确定7x的取值范围。练一练3用5米和3米的管道铺设一段42米长的下水道，最少需要管道多少根？答案：5x+3y=42解得x=6,y=4例4某种考试已举

5、行24次，共出了426道题，每次出的题目有25题、或者16题、或者20题，那么其中考25题的有多少次。解析设考25题、20题依次为x次和y次，可列不定方程如下：(25-16)x+(20-16)y=426-16×249x+4y=4242-9x≥0，所以x≤4，且4和42均能被2整除，因此只能取0、2、4。当x=0时，y=10当x=2时，y=6当x=4时,y=可以考25题的共有2次。判断出x的范围小于或等于4，再确定不能取偶数是求解的关键。例5甲一分钟能洗3个盘子或9个碗，乙一分钟能洗2个盘子或7个碗，甲、乙合做，20分钟洗了134个盘子和碗。有几

6、个盘子几个碗?解析设甲用a分钟洗盘子，(20-a)分钟洗碗，乙用b分钟洗盘子，(20-b)分钟洗碗。3a+9(20-a)+2b+7(20-b)=1346a+5b=186。由上式知，b为偶数，所以a=l，6，ll或16。当a=1，6，ll时，b>20不合题意。所以a=16，b=18。共洗了盘子3a+2b=84(个)，洗了碗134-84=50(个)。本题先用未知数分别表示甲、乙洗盘子和碗的时间，再列不定方程。例6某地电费不超过10度时，每度0.45元；超过10度时，每度0．80元，张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，张家与李家

7、各交电费多少元?解析设张家用电x度，李家用电y度，则x大于10，y小于10，且x、y均为自然数，根据题意，列方程：两边同除以5得y取l，2，……，9，经试验知，只有y=8时，x有整数解x=13。10×0.45+3×0.8=6.9(元)8×0.45=3.6(元)所以张家交电费6.9元，李家交电费3.6元。例7将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计)。问剩余部分的铝管至少是多少厘米?解析设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根，则可以看方程36x+24y=374是否有解。由于36、24均能

8、被4整除，374被4除余2，所以此方程无整数解。若剩余部分最少是2厘米，则列方程36x+24y=372即3x+2Y=31当x=1时，y=14。因此可以