一类二阶非齐次微分方程解的零点.pdf

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1、第３９卷第１期南昌大学学报（理科版）Ｖｏｌ．３９Ｎｏ．１２０１５年２月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｎｃｈａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｆｅｂ．２０１５文章编号：１００６０４６４（２０１５）０１００１３０５一类二阶非齐次微分方程解的零点陈玉（江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌３３００２２）摘要：研究方程ｆ″＋Ａ（ｚ）ｆ′＋Ｂ（ｚ）ｆ＝Ｆ解的零点，其中Ａ（ｚ），Ｂ（ｚ）（０），Ｆ（ｚ）（０）是整函数，得到了方程解的不同零点收敛指数、二级不同零点收敛指数等的精确估计，改进了Ｇ．Ｇｕｎｄｅｒｓｅｎ、Ｋ

2、ｉＨｏＫｗｏｎ、陈宗煊、ＢｅｎｈａｒｒａｔＢｅｌａｄｉ及作者的结果．关键词：微分方程；零点收敛指数；二级不同零点收敛指数；例外解中图分类号：Ｏ１７４．５２文献标志码：ＡＺｅｒｏｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏａｔｙｐｅｏｆｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓＣＨＥＮＹｕ（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｃｓ，ＪｉａｎｇｘｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ３３００２２，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ

3、ｔｈｅｚｅｒｏｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｆ″＋Ａ（ｚ）ｆ′＋Ｂ（ｚ）ｆ＝Ｆ，ｗｈｅｒｅＡ（ｚ），Ｂ（ｚ）（０），Ｆ（ｚ）（０）ｗｅｒｅｅｎｔｉｒｅｐａｒａｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｉｔｏｂｔａｉｎｅｄｓｏｍｅｐｒｅｃｉｓｅｅｓｔｉｍａｔｅｓｏｆｔｈｅｅｘｐｏｎｅｎｔｏｆｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｄｉｓｔｉｎｃｔｚｅｒｏｓ．Ｔｈｅｈｙｐｅｒｅｘｐｏｎｅｎｔｏｆｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｄｉｓｔｉｎｃｔｚｅｒｏｓｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｗａｓｓｔｕｄｉｅｄａｓｗｅｌ

4、ｌ，ｗｈｉｃｈｉｍｐｒｏｖｅｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆＧ．Ｇｕｎｄｅｒｓｅｎ，ＫｉＨｏＫｗｏｎ，ＢｅｎｈａｒｒａｔＢｅｌａｄｉａｎｄｔｈｅａｕｔｈｏｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｅｘｐｏｎｅｎｔｏｆｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｚｅｒｏｓ；ｈｙｐｅｒｅｘｐｏｎｅｎｔｏｆｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｄｉｓｔｉｎｃｔｚｅｒｏｓ；ｅｘｃｅｐｔｉｏｎａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ我们定义集合Ｈ［０，＋∞）的上线密度为１引言与结果ｍ（Ｈ∩［０，ｒ］ｄｅｎｓＨ＝ｌｉｍ，下线密度为ｄｅｎｓＨ＝ｒ→∞ｒ本文使用Ｎｅｖａｎ

5、ｌｉｎｎａ值分布理论的标准记［１］号，用σ（ｆ）表示ｆ（ｚ）的级，（ｆ）表示ｆ（ｚ）的下ｍ（Ｈ∩［０，ｒ］μｌｉｍ，线测度为ｍＨ＝ｄｔ，而集合Ｆ级，σ２（ｆ）表示ｆ（ｚ）的超级，λ（ｆ）、λ（ｆ）分别表示ｒ→∞ｒ∫Ｈｄｔｆ（ｚ）的零点收敛指数与不同零点收敛指数，并回顾［１，＋∞）的对数测度为ｍｌ（Ｆ）＝。∫Ｆｔ以下定义。Ｇ．Ｇｕｎｄｅｒｓｅｎ研究了二阶线性微分方程定义１亚纯函数ｆ（ｚ）的二级零点收敛指数ｆ″＋Ａ（ｚ）ｆ′＋Ｂ（ｚ）ｆ＝０（１．１）λ２（ｆ）定义为的增长性，在［３］中得到１ｌｏｇｌｏｇＮ（ｒ，）ｆ定理Ａ设Ａ（ｚ）和Ｂ

6、（ｚ）是整函数，对常数αλ２（ｆ）＝ｌｉｍｒ→∞ｌｏｇｒ＞０，β＞０，θ１＜θ２，当θ１≤ａｒｇｚ≤θ２且ｚ→∞时，ｆ（ｚ）的二级不同零点收敛指数λ２（ｆ）定义为满足１ｌｏｇｌｏｇＮ（ｒ，）｜Ａ（ｚ）｜≤ｅｘｐ｛ｏ（１）｜ｚ｜β｝，｜Ｂ（ｚ）｜≥ｅｘｐ｛（１ｆλ２（ｆ）＝ｌｉｍｒ→∞ｌｏｇｒ＋ｏ（１））α｜ｚ｜β｝收稿日期：２０１４１０１１。基金项目：国家自然科学基金项目（１１２０１１９５）。作者简介：陈玉（１９７３－），女，讲师。Ｅｍａｉｌ：ｃｈｅｎｙｕｇｙｉ＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ。·１４·南昌大学学报（理科版）２０１５年那么方

7、程（１．１）的每个解ｆ０满足σ（ｆ）＝∞。１且λ（）＜σ（ｆ），那么任一亚纯解ｆ满足（ｆ）＝μＫｉＨｏＫｗｏｎ改进了定理Ａ，在［４］中得到ｆ定理Ｂ假设Ｅ为一复数集，满足ｄｅｎｓ｛｜ｚ｜：ｚσ（ｆ）＝∞，σ２（ｆ）＝μ。当方程系数为整函数时，本文进一步研究了非∈Ｅ｝＞０，且设Ａ（ｚ）和Ｂ（ｚ）是整函数，对正常数齐次线性微分方程（１．３）解的零点，得到方程解的α，β，当ｚ∈Ｅ且ｚ→∞时，满足不同零点收敛指数、二级不同零点收敛指数等的精｜Ａ（ｚ）｜≤ｅｘｐ｛ｏ（１）｜ｚ｜β｝，｜Ｂ（ｚ）｜≥ｅｘｐ｛（１确估计。关于非齐次线性微分方程，

8、人们通常得到的＋ｏ（１））α｜ｚ｜β｝结果是方程的所有解为无穷级，至多除去一个例外。那么方程（１．１）的每个解ｆ０满足σ２（ｆ）≥β。一个自然的问题是，在什么条件下非齐次线性微分ＢｅｎｈａｒｒａｔＢｅｌａｄｉ将上述结果推广到高阶整