复变函数积分的物理意义.pdf

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1、第"#卷第$期天!津!商!学!院!学!报;(-<"#=(<$!!"%%#年&月’()*+,-(./0,+10+2+034*5067(.8(994*:4>,7"%%#复变函数积分的物理意义宋香暖（天津商学院基础课教学部，天津$%%?$#）摘!要：利用矢量分析的理论阐述了复积分的物理意义。关键词：复积分；解析函数；通量；环量中图分类号：@?A#<&!!!文献标识码：B!!!文章编号：?%%?C%"D"（"%%#）%$C%%#?C%"!!!在复变函数论中，复变函数的积分是很重要的E"%，+不包含.%点一个概念，而复积分也是研究解析函数的重要工具#"公式+/#{的物理意","%"!(，+

2、包含.%点之一。但是，这部分内容概念抽象，不易理解。如果阐明它的物理意义效果会好一些，但以往的书中还义没有这样的阐明。本文就这方面的几个重要问题分!!设在"%点有电量为"!"%的点电荷，在复平面上别阐述如下：形成二维静电场（向量场），我们知道在点.处的场!"复积分的物理意义强为：?"0%#!"%%%!!设函数（!"）#$（%，&）’(（)%，&）定义在区域*!!!$#%##""#!"%1#!"%11内，+为区域*内一条光滑的有向曲线，并设二维向其中0为.%处的电量。量!#（!"）#$（%，&）,(（)%，&）则%%（%,%%）(’（&,&%）&!!!E"#E-"#E%’(E&!!

3、!$#"#""1（%,%%）’（&,&%）%!!!,(E"#E-##E&,(E%于是电场强度$的分量为：%其中"为曲线+在点.处沿曲线方向的单位向量，（%,%%）%!!!2#，#为该点处的单位法向量，E-为弧微分。%""（%,%%）’（&,&%）!!!$/（!"）E"#$［/$（%，&）’(（)%，&）］E（%’(&）#（&,&%）!!!2&#""（%,%%）’（&,&%）$/$（%，&）E%,（)%，&）E&’??而##","%（%,%%）’（(&,&%）($/（)%，&）E%’$（%，&）E&#（%,%%）,（(&,&%）#""$!·"%E-’(!·#%E-（%,%%）’（&

4、,&%）/$/（%,%%）%"",由场论知识可知，积分$/（!"）E"的实部：$/!"E-表示（%,%%）’（&,&%）（&,&%）向量场!·沿曲线+的环量。虚部：!·#%E-表示向($/（%,%）"’（&,&）"%%量场!沿曲线+的通量。正好与这个电场强度对应，因此!收稿日期："%%$C%FC%?作者简介：宋香暖（?F&&—），女，河北深县人，副教授，硕士，主要从事数学分析方面的研究。·0$·天!津!商!学!院!学!报$##0年!""（%#%#）!!!+!"#"$+![$$#!!!+!（."）""$+［!/（%，’）&(（0%，’）］"（%&(’）$#（%#%#）&（’#’#）

5、!!!(（’#’#）]"（%&(’）$+!/（%，’）"%#（0%，’）"’&$$（%#%#）&（’#’#）(+!（0%，’）"%&/（%，’）"’$!!!+（!)%#()’）"（%&(’）$##+!$·""*&(+$·#"*!!!+!)%"%&)’"’&(+!#)’"%&)%"’$因为函数（."）$/（%，’）&(（0%，’）在1内解析，则##!!!+!·""*&(+!·#"*在1内恒有+—2方程由场论知电场强度是无旋的，则!沿+的环量!!!"/$"0，"/$#"0成立"%"’"’"%#"!!!+!·""*$#从而得!!3$$%&’$%#"·$%"()$%##!!如果+不包含)

6、,点，则通量+)·#"*$##所以向量场$沿闭曲线+的环量+!$·""*$#。通过#!!如果+包含),点，则通量+!·#"*$$!#闭曲线+的通量+!$·#"*$#因此闭路积分""#，+不包含-#点此即+（."）""$#的物理意义。!!!+$!!"#"{#$!(，+包含-#点参考文献：!"柯西———古萨基本定理的物理意义［*］!西安交通大学高等数学教研室+复变函数［,］+第-版+北京：!!设函数（."）$/（%，’）&(（0%，’）在单连域1内高等教育出版社，*..#+/012/+解析，+为1内任一条闭曲线，并设平面向量场$$［$］!谢树艺+矢量分析与场论［,］+第$版+北京：高

7、等教育出版（."）$/（%，’）#(（0%，’），则社，*.3/+-/140+!"#$%&’()*’+%+,-./-01(*23+4*,5’4%-+56789(:;<=;>:;（?:@(AB&>%@CDCE:%’FC;’，G(:;H(;I;()C%@(’J&KB&FFC%AC，G(:H(;-##*-0，BL(;:）67$45’&4：GLCE:EC%"CK(;C@’LCELJ@(A:MFC:;(;<&KA&FEMCNO;’C<%:’(&;PJ>@(;<’LC’LC&%J&K)CA’