复变函数积分的物理意义与方法-.doc

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1、【标题】复变函数积分的物理意义与方法【作者】何春连【关键词】复积分；通量；环量；复积分的方法。【指导老师】郑莲【专业】数学与应用数学【正文】1引言复变函数积分的物理意义与方法是在充分运用数学分析知识的前提下，把有关实函数的连续、微分、积分、级数等理论延续拓广到复函数情形，然而这种延拓并非简单的平移，而是根据复数的特性，以及在此情形下出现的新问题，从而建立起自身的理论体系，创立了如何求复变函数积分的思想方法。这些思想方法也被广泛应用于物理学、天文学的研究，而它在电学、流体力学理论方面的应用，更是直接体现了它在解决实际问题

2、中的重要性。本文主要研究复变函数积分的物理意义与方法。2预备知识：2.1复积分的概念：设C是以a为起点，b为终点的可求长曲线，在C上有定义,沿C从8到b依次插入分点a=zO,zl,…，zn=b,在每个弧段上任取一点,作和式：Sn=△,△记二maxlA丨，若Sn存在（极限JWC）,且J与分点及的取法无关，则称沿着C从a到b可积，J称为沿着C从a到b的积分，并记作J二o2.2柯西一古萨定理：若函数在单连通域B内处处解析，则函数沿B内任何一条闭曲线C的积分为0,即o2.3Newton-Leibniz公式：若函数在单连通域D内

3、解析，是在D内的任一原函数，则。本定理中的条件“函数在单连通域D内解析”也可以换为“函数在单连通域D内连续”2.4Cauchy积分公式:设区域D的边界是围线（或复围线）C,在D内解析，在二D+C上连续，则有二（zED）。2.5高阶导数公式:设区域D的边界是围线（或复围线）C,在D内解析，在二D+C上连续，函数在区域D内有各阶导数，并且有，（zeDn=l,2、、、）。2.6算术平均值定理：设函数在圆域K：

4、z-zO

5、

6、，外解析,在闭域上除，，…，外连续，则3复积分的物理意义3.1复积分的物理意义设函数=定义在区域D内，C为区域D内一条光滑的有向曲线，并设二维向量A二=则其中为曲线C在点Z处沿曲线方向的单位向量，为该点处的单位法向量，为弧微分。由场论知识可知，积分的实部：表示向量场A沿曲线C的环量。虚部：表示向量场A沿曲线C的通量。3.2公式二的物理意义设在点有电量为的点电荷，在复平面上形成二维静电场（向量场），我们知道在点Z处的场强为：E===其中e为处的电量。E二二于是电场强度E的分量为：Ex=,Ey=,而二正好与这个电场强度对应

7、，因此由场论知电场强度的无旋的，则E沿C的环暈如果C不包含点，则通量如果C包含点，则通量因此闭路积分二3.3柯西-古萨基本定理的物理意义设函数二在单连通域B内解析，C为B内任一闭曲线，并设平面向量场A二=,贝I」因为函数=在B内解析，则在B内恒有C—R方程成立二成立从而得▽XA=rotA=0V?A=divA=O所以向量场A沿闭曲线C的环量，通过闭曲线C的通量此即二0的物理意义。在明确的掌握了复变函数积分的物理意义之后，下而再研究它的儿种常见的积分方法，以及这些方法的实际应用和在一道题目中的多种解法。4求复变函数积分的方

8、法4.1利用积分曲线的方程进行计算。例.求，假定积分曲线C是：(a)连结点-1与点1的直线段；(b)中心在原点且半径为1的上半平而上的半圆周，点T是起点，解:(a)VC：■••点1是终点。TWxWl=+(b)IC：=1OWtW二+二24.2被积函数在被积分曲线C所包围的单连通闭域中处处解析，则可用Cauchy-Goursat定理进行计算例.证明,其中C是以0(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)四点为顶点的正四边形边缘。证明：(法一)设C所包围的区域为D,则二z+1在此单连通域D屮处处解析，故由Cauch

9、y-Goui'sat定理知积分。(法二)如需利用积分曲线，则有二+++=+=0以上积分曲线的方向取正、取负都可以。4.3被积函数在包含积分曲线C的某一单连通域D内处处解析，则可以用Newton-Leibniz公式进行计算。例.求，积分路径是由z=-2i到z二2i而位于虚轴右部的任一路线。解：由于在半平面Rez>0内处处解析，并且注意到Lnz的主值Inz是在半平面Rez>0内的单值解析不定积分，故二二二4.4利用Cauchy积分公式进行计算例.求，C是单位圆，其中心在(a)(b)解：(a)=其中在(2内。上处处解析，故由

10、Cauchy积分公式，此积分2=2=(b)类似于⑹,有4.5利用解析函数的高阶导数公式进行计算例.求，假定：(a)C是中心在点z二1而半径R〈2的任一圆周；(b)C是中心在点Z=-1而半径R<2的任一圆周；(c)C是中心在点Z二1或者Z=-1而半径R〈2的任一圆周解：(8)因为在C内C上解析，点沪1在C内，由解析函数的高阶导数公式