复变函数积分方法总结.doc

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1、......复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期].学习帮手........学习帮手.......复变函数积分方法总结数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数:z=x+iyi²=-1,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)。argz=θ₁θ₁称为主值-π<θ₁≤π,Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ,y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ;利用欧拉公式ei

2、θ=cosθ+isinθ。z=reiθ。1.定义法求积分:定义:设函数w=f(z)定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线,把曲线C任意分成n个弧段,设分点为A=z0,z1,…,zk-1,zk,…,zn=B,在每个弧段zk-1zk(k=1,2…n)上任取一点xk并作和式Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)=k-1nf(xk)∆zk记∆zk=zk-zk-1,弧段zk-1zk的长度δ=max1≤k≤n{∆Sk}(k=1,2…,n),当δ→0时,不论对c的分发即xk的取法如何,Sn有唯一的极限,则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为:

3、cf(z)dz=limδ0k-1nf(xk)∆zk设C负方向(即B到A的积分记作)c-f(z)dz.当C为闭曲线时,f(z)的积分记作cf(z)dz(C圆周正方向为逆时针方向).学习帮手.......例题:计算积分1)cdz2)c2zdz,其中C表示a到b的任一曲线。(1)解:当C为闭合曲线时,cdz=0.∵f(z)=1Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)=b-a∴limn0Sn=b-a,即1)cdz=b-a.(2)当C为闭曲线时,cdz=0.f(z)=2z;沿C连续,则积分czdz存在,设xk=zk-1,则∑1=k-1nZ(k-1)(zk-zk-1)有可

4、设xk=zk,则∑2=k-1nZ(k-1)(zk-zk-1)因为Sn的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等。所以Sn=(∑1+∑2)=∑k-1nzk(zk2-zk-12)=b2-a2∴c2zdz=b2-a21.2定义衍生1:参数法:f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy带入cf(z)dz得:cf(z)dz=cudx-vdy+icvdx+udy再设z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)cf(z)dz=αβf(z(t))z(t)dt参数方程书写:z=z0+(z1-z0)t(0≤t≤1);z=z0+reiθ,(0≤θ≤2π).学习帮手.......例

5、题1:03+iz2dz积分路线是原点到3+i的直线段解:参数方程z=(3+i)t03+iz2dz=01[(3+i)t]2[(3+i)t]'dt=(3+i)301t2dt=6+263i例题2:沿曲线y=x2计算01+i(x2+iy)dz解:参数方程x=ty=t2或z=t+it2(0≤t≤1)01+ix2+iydz=01(t2+it2)(1+2it)dt=(1+i)[01t2dtdt+2i01t3dt]=-16+56i1.3定义衍生2重要积分结果:z=z0+reiθ,(0≤θ≤2π)由参数法可得:cdz(z-z0)n+1=02πireiθei(n+1)θrn+1dθ

6、=irn01+ie-inθdθcdz(z-z0)n+1=2πin=00n≠0例题1:z=1dzz-2例题2:z=1dzz-12.学习帮手.......解:=0解=2πi2.柯西积分定理法:2.1柯西-古萨特定理:若f(z)dz在单连通区域B内解析,则对B内的任意一条封闭曲线有:cf(z)dz=02.2定理2:当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关,仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。2.3闭路复合定理:设函数f(z)在单连通区域D内解析,C与C1是D内两条正向简单闭曲线,C1在C的内部,且以复合闭路Γ=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有:Γf(z)

7、dz=cf(z)dz+c1f(z)dz=0即cf(z)dz=c1f(z)dz推论:cf(z)dz=k=1nckf(z)dz例题:c2z-1z2-zdzC为包含0和1的正向简单曲线。解:被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交,互不包含的正向曲线c1和c2。.学习帮手.......c2z-1z2-zdz=c12z-1z(1-z)dz+c22z-1z(1-z)dz=c11z-1+1zdz+c21z-1+1zdz=c11z-1dz+c11zdz+c21z-1dz+c21zdz=0+2πi+2πi+0=4πi2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式):定理2.2可知,解析函

8、数在单连通域B内沿简单曲

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