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1、复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：z=x+iyi²=-1，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。argz=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用欧拉公式eiθ=cos
2、θ+isinθ。z=reiθ。1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D，C为区域D起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段zk-1zk(k=1,2…n)上任取一点xk并作和式Sn=(zk-zk-1)=∆zk记∆zk=zk-zk-1，弧段zk-1zk的长度={∆Sk}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即xk的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：=∆zk设C负方向(即
3、B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0.∵f(z)=1Sn=(zk-zk-1)=b-a∴=b-a,即=b-a.(2)当C为闭曲线时，=0.f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设xk=zk-1,则∑1=(zk-zk-1)有可设xk=zk，则∑2=(zk-zk-1)因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以Sn=(∑1+∑2)==b2-a2∴=b2-a21.2定义衍生1：参数法：f(z)=
4、u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy带入得：=-vdy+i+udy再设z(t)=x(t)+iy(t)(≤t≤)=参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π)例题1：积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程z=（3+i）t==(3+i)3=6+i例题2：沿曲线y=x2计算解：参数方程或z=t+it2(0≤t≤1)==(1+i)+2i]=-+i1.3定义衍生2重要积分结果：z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π)由参数法可得：=dθ=dθ=例题1：例题2：解：=0解
5、=2πi2.柯西积分定理法：2.1柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B解析，则对B的任意一条封闭曲线有：=02.2定理2：当f为单连通B的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D解析，C与C1是D两条正向简单闭曲线，C1在C的部，且以复合闭路=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有：=+=0即=推论：=例题：C为包含0和1的正向简单曲线。解：被积函数奇点z=0和z=1.在C互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。=+==+++=
6、0+2πi+2πi+0=4πi2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函数在单连通域B沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即=这里的z1和z0积分的上下限。当下限z0固定，让上限z1在B变动，则积分在B确定了一个单值函数F(z),即F(z)=所以有若f(z)在单连通区域B解析，则函数F(z)必为B的解析函数，且=f(z).根据定理2.2和2.4可得=F(z1)-F(z0).例题：求解：函数zcosz在全平面解析∴=zsinz-=isini+cosz=isini+cosi-1=i+-1=
7、e-1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。2.5柯西积分公式法：设B为以单连通区域，z0位B中一点，如f(z)在B解析，则函数在z0不解析，所以在B沿围绕z0的闭曲线C的积分一般不为零。取z0位中心，以>0为半径的正向圆周=位积分曲线，由于f(z)的连续性，所以==2πif(z0)2.5.1定理：若f(z)在区域D解析，C为D任何一条正向简单闭曲线，它的部完全含于D，z0为C的任一点，有：f(z0)=例题：1）2）解：=2πisinz
8、z=0=0解：==2πi
9、
10、z=-i=2.6解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为f(n)(z0)=dz(n=1,2…)其中C为f(z)的解析区域D围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的部全含于D.例题：C:=1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2πi(ez)(4)
11、z==3.解析函数与调和函数：定义：（1）调和函数：如果二元实函数(x,y)在区域D具有二阶连续函数，且满足
