资源描述：
《数学物理方法2复变函数的积分.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章复变函数的积分数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏的极深.---高斯(Gauss)1学习要求与内容提要目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本性质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。重点：难点：1.复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式。复合闭路定理与复积分的计算。2（一）积分的定义l,,,,,,,,,,)(110bzzzzzanbaBlBzfwnkk===-LL设分点为个弧段任意分成把曲线的一条光滑的有向曲线终点为内起点为为区域内定义在区域设
2、函数,),,2,1(1kkknkzzz上任意取一点在每个弧段L=-2.1复变函数的积分(与实函数积分相似，定义为和的极限)——复平面上的线积分3,)()()(111knkknkkkknzfzzfSD=-=åå==-zz作和式,1这里kkkzzz--=D,无限增加当nl,)(,记为的积分沿曲线函数那么称这极限值为一极限zfl,有唯的取法如何的分法及如果不论对Snkz4关于定义的说明:.d)(,)1(òlzzfl记为那么沿此闭曲线的积分是闭曲线如果.),()(,)2(定积分的定义实变函数这个积分定义就是
3、一元而轴上的区间是如果xuzfbxaxl=££注:闭曲线是有向曲线,并定义区域总是在观察者左侧的曲线为正5注意到：积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分(二).积分的计算法代入积分定义有：6积分的计算法2:参数方程法设路径l的方程（参数方程）为:z=z(t)(α≤t≤β)由求导法则，dz=z’(t)dt,则有(三)性质：(1)全路径上的积分等于各段上积分之和光滑曲线相互连接所组成的按段等光滑曲线依次是由其中.,,,21nllllL设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则7(3)常数因子可
4、以移到积分号外(4)函数的和的积分等于各函数积分之和(2)若l和l-是同线段但走向相反,则(5)积分不等式特别地，若在l上有，l的长记为l，则性质(5)成为8例1解:采用参数方程方法y=3x/4,令x=t.直线的参数方程:.43:,d的直线段从原点到点计算ilzzl+ò在l上，z=x+iy·9例2解积分路径(圆心在原点圆)的参数方程为.2:,d=òzlzzl圆周为其中计算)2(=z因为10例3解积分路径的参数方程为.,,,d)(1010为整数径的正向圆周为半为中心为以求nrzlzzzlnò+-11重
5、要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.12定理1：单连通区域柯西定理讨论复变函数积分值与积分路径的关系(一)单连通区域柯西定理2.2柯西定理如果函数f(z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有13连续，且同理连续，且证明：格林公式积分值的实部:由格林公式化成面积分14推论：单连通域的积分只与各积分曲线的起点和终点有关。例1解根据柯西定理,有·,1321内解析在函数£-zz15由于围线l所包含的面积范围内含有不属于区域的点，所以围道积分不一定为零.那么如何计算
6、?（二）复连通域柯西定理下图表示一个由边界L和l1构成的闭二连通区域B.设f(z)在B内解析,在闭区域边界上连续.GLl116作割线把原来以围线l和内边界为l1的二连通区域转化为除原来围线和内边界线以外和割线AD与DA组成的新边界的单连通区域。则由柯西定理或l与l1方向相反，但与l-1方向相同。又17此式说明,在区域内的一个解析函数沿着闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内部作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中曲线不经过函数的奇点.------闭路变形原理18(多连通域柯西定理)设B是以边为界的n+1
7、闭连通区域，其中l1，l2，…，ln是简单光滑闭曲线l内部互相分离的n条简单光滑闭曲线。若f(z)在边界上连续，在B内解析，则有其中C取关于区域B的正向，或写为：19例2解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,.12,d所组成向圆周和负为正向圆周计算积分==GòGzzzzez,上处处解析在此圆环域和其边界函数zez20例3解.,,d)(11为整数的任一简单闭路为含求nazaznòl+l-,内部在曲线因为la,l:1内部含在使rl=-az,)(111内处处解析为边界的复连通域在以+l+l-n
8、az,r故可取很小的正数xya21由复合闭路定理,îíì¹=p=-òl+.0,00,2d)(11nnizazn故xya此结论非常重要,闭曲线不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.22（五）柯西定理小结固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分单通区域上的解析函数沿区域内任一条光滑闭曲线的积分为零。闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。23思考
