电子科大 数值分析课件第四章 线性方程组的迭代解法.ppt

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1、第四章线性方程组的迭代解法迭代法的基本思想Jacobi迭代和Gauss－Seidel迭代迭代法的收敛性超松弛迭代分块迭代法第四章线性方程组的迭代解法4.1迭代法的基本思想：例：求解方程组其精确解是x*=(3,2,1)T。现将原方程组改写为简写为x=B0x+f，其中任取初始值，如取x(0)=(0,0,0)T，代入x=B0x+f右边，若等式成立则求得方程组的解，否则，得新值x(1)=(x1(1),x2(1),x3(1))T=(2.5,3,3)T，再将x(1)代入，反复计算，得一向量序列{x(k)}和一般的计算公式（迭代公式）：简写为x(k+1)=B0x(k)+fk=0,1,2,……x(1

2、0)=(3.000032,1.999838,0.999813)T迭代到第10次时有

3、

4、ε(10)

5、

6、∞=

7、

8、x(10)–x*

9、

10、=0.000187定义：（1）对于给定方程组x=Bx+f，用迭代公式x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,……)逐步代入求近似解的方法称迭代法；（2）若k∞时limx(k)存在（记为x*），称此迭代法收敛，显然x*就是方程组的解，否则称迭代法发散；（3）B称为迭代矩阵。问题：如何建立迭代格式？收敛速度？向量序列的收敛条件？误差估计？设Ax=b，A非奇异，且对角元不为零，将原方程组改写为4.2Jacobi迭代与Gauss－Seidel迭代4.

11、2.1Jacobi迭代法又代入，反复继续，得迭代格式：称Jacobi迭代法。选取初始向量代入上面方程组右端得Jacobi迭代法的矩阵表示：计算公式为：(i=1,2,……,n)，(k=0,1,2,……表迭代次数)矩阵表示：则BJ=I-D-1A=D-1(L+U)，fJ=D-1b，称BJ为Jacobi迭代矩阵。（aii≠0）将方程组Ax＝b的系数矩阵A分解为：A=D-L-U例1:用Jacobi迭代法求解方程组，误差不超过10-4。解:依此类推,得方程组满足精度的解为x12迭代次数：12次x4=3.02411.94780.9205d=0.1573x5=3.00031.98401.0010d=

12、0.0914x6=2.99382.00001.0038d=0.0175x7=2.99902.00261.0031d=0.0059x8=3.00022.00060.9998d=0.0040x9=3.00031.99990.9997d=7.3612e-004x10=3.00001.99990.9999d=2.8918e-004x11=3.00002.00001.0000d=1.7669e-004x12=3.00002.00001.0000d=3.0647e-005若在迭代时尽量利用最新信息，则可将迭代格式变为4.2.2Gauss－Seidel迭代法称Gauss－Seidel迭代法.计算公

13、式：（i=2,3,……,n-1）(i=1,2,…,n)即其中BG-S=(D-L)-1U称Gauss－Seidel迭代矩阵。(D–L)x(k+1)=b＋Ux(k)故Gauss－Seidel迭代格式：1.矩阵的范数（三种算子范数、谱半径、谱范数、F-范数）前一次课内容回顾3.迭代法求解线性方程组（Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代及其矩阵表示）2.线性方程组求解的误差分析（病态方程组、良态方程组、扰动分析、事后误差估计）例2.用Gauss-Seidel迭代法求解例1方程组要求误差仍然不超过10-4。解:Gauss-Seidel迭代格式为x1=2.50002.09091.227

14、3d=3.4825x2=2.97732.02891.0041d=0.5305x3=3.00981.99680.9959d=0.0465x4=2.99981.99971.0002d=0.0112x5=2.99982.00011.0001d=3.9735e-004x6=3.00002.00001.0000d=1.9555e-004x7=3.00002.00001.0000d=1.1576e-005取初值x(0)=(0,0,0)T通过迭代，至第7步得到满足精度的解x7：从例1和例2可以看出，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比Jacobi迭代法要快。Jacobi迭代法和Gauss-S

15、eidel迭代法统称为简单迭代法。4.3迭代法的收敛性设求解线性方程组的迭代格式为将上面两式相减,得而方程组的精确解为x*，则则因此迭代法收敛的充要条件可转变为引理：迭代格式收敛的充要条件为定理：迭代格式收敛的充要条件为迭代矩阵的谱半径(B)<1。证:对任何n阶矩阵B，都存在非奇矩阵P，使B=P–1JP其中，J为B的Jordan标准型。其中,Ji为Jordan块其中λi是矩阵B的特征值，由B=P–1JPBk=(P–1JP)(P–1JP)···(P–1JP