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1、要点梳理1.椭圆的定义（1）第一定义：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于
2、F1F2
3、）的点的轨迹叫.这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做.集合P={M
4、
5、MF1
6、+
7、MF2
8、=2a}，
9、F1F2
10、=2c,其中a＞0,c＞0，且a，c为常数：（1）若，则集合P为椭圆；§8.1椭圆基础知识自主学习椭圆焦点焦距a＞c第八章圆锥曲线（2）若，则集合P为线段；（3）若，则集合P为空集.a=ca＜c3.椭圆的几何性质基础自测1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()A.B.C.D.解析设长轴长、短轴长
11、分别为2a、2b,则2a=4b,D2.设P是椭圆上的点.若F1，F2是椭圆的两个焦点，则
12、PF1
13、+
14、PF2
15、等于（）A.4B.5C.8D.10解析由椭圆定义知
16、PF1
17、+
18、PF2
19、=2a=10.DC4.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（）A.9B.1C.1或9D.以上都不对解析由题意得∴a=5，c=4.∴a+c=9，a-c=1.C5.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为.解析由已知得∠AF1F2=30°，故c
20、os30°=，从而e=.题型一椭圆的定义【例1】一动圆与已知圆O1：（x+3)2+y2=1外切,与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件.思维启迪题型分类深度剖析解两定圆的圆心和半径分别为O1(-3，0),r1=1；O2(3,0)，r2=9.设动圆圆心为M(x，y),半径为R，则由题设条件可得
21、MO1
22、=1+R，
23、MO2
24、=9-R.∴
25、MO1
26、+
27、MO2
28、=10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a=5，c=3
29、.∴b2=a2-c2=25-9=16，故动圆圆心的轨迹方程为探究提高平面内一动点与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a，当2a>
30、F1F2
31、时,动点的轨迹是椭圆；当2a=
32、F1F2
33、时,动点的轨迹是线段F1F2；当2a<
34、F1F2
35、时，轨迹不存在.已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线知能迁移1解析点P在线段AN的垂直平分线上，故
36、PA
37、=
38、PN
39、，又AM是圆的半径，∴
40、PM
41、+
42、PN
43、=
44、PM
45、
46、+
47、PA
48、=
49、AM
50、=6＞
51、MN
52、，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.答案B题型二椭圆的标准方程【例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.思维启迪.解方法一设所求的椭圆方程为由已知条件得解得a=4,c=2,b2=12.故所求方程为方法二设所求椭圆方程为两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a=
53、PF1
54、+
55、PF2
56、=8,∴a=4.在方程中，令x=±c得
57、y
58、=,在方程中，令y=±c得
59、x
60、=,依题意有=3，∴b2=12.∴椭圆的方程为探究提
61、高运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0,m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可.知能迁移2（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）,求椭圆的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)、P2(-，-)，求椭圆的方程.解（1）若焦点在x轴上，设方程为(a＞b＞0).∵椭圆过P（3，0），∴又2a=3×2b,∴b=1,方程为若焦点在
62、y轴上，设方程为∵椭圆过点P（3，0），∴=1,又2a=3×2b,∴a=9,∴方程为∴所求椭圆的方程为b=3.（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0且m≠n).∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则①、②两式联立，解得∴所求椭圆方程为①②题型三椭圆的几何性质【例3】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.（1）在△PF1F2中，使用余弦定理和
63、PF1
64、+
65、PF2
66、=2a，可求
67、PF1
68、
69、·
70、PF2
71、与a，c的关系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求出e的范围；（2）利用
72、PF1
73、·
74、PF2
75、sin60°可证.思维启迪（1）解设椭圆方程为
76、PF1
77、=m,
78、PF2
79、=n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°.∵m+n=2a，∴m2+n2=（m+n）
