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1、要点梳理1.椭圆的定义(1)第一定义:在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹叫.这两定点叫做椭圆的,两焦点间的距离叫做.集合P={M
4、
5、MF1
6、+
7、MF2
8、=2a},
9、F1F2
10、=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若,则集合P为椭圆;§8.1椭圆基础知识自主学习椭圆焦点焦距a>c第八章圆锥曲线(2)若,则集合P为线段;(3)若,则集合P为空集.a=ca<c3.椭圆的几何性质基础自测1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于()A.B.C.D.解析设长轴长、短轴长
11、分别为2a、2b,则2a=4b,D2.设P是椭圆上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则
12、PF1
13、+
14、PF2
15、等于()A.4B.5C.8D.10解析由椭圆定义知
16、PF1
17、+
18、PF2
19、=2a=10.DC4.已知椭圆C的短轴长为6,离心率为,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A.9B.1C.1或9D.以上都不对解析由题意得∴a=5,c=4.∴a+c=9,a-c=1.C5.椭圆的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点为A,且F1AF2是顶角为120°的等腰三角形,则此椭圆的离心率为.解析由已知得∠AF1F2=30°,故c
20、os30°=,从而e=.题型一椭圆的定义【例1】一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件.思维启迪题型分类深度剖析解两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可得
21、MO1
22、=1+R,
23、MO2
24、=9-R.∴
25、MO1
26、+
27、MO2
28、=10.由椭圆的定义知:M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3
29、.∴b2=a2-c2=25-9=16,故动圆圆心的轨迹方程为探究提高平面内一动点与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a,当2a>
30、F1F2
31、时,动点的轨迹是椭圆;当2a=
32、F1F2
33、时,动点的轨迹是线段F1F2;当2a<
34、F1F2
35、时,轨迹不存在.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线知能迁移1解析点P在线段AN的垂直平分线上,故
36、PA
37、=
38、PN
39、,又AM是圆的半径,∴
40、PM
41、+
42、PN
43、=
44、PM
45、
46、+
47、PA
48、=
49、AM
50、=6>
51、MN
52、,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.答案B题型二椭圆的标准方程【例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5、3,过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程.思维启迪.解方法一设所求的椭圆方程为由已知条件得解得a=4,c=2,b2=12.故所求方程为方法二设所求椭圆方程为两个焦点分别为F1,F2.由题意知2a=
53、PF1
54、+
55、PF2
56、=8,∴a=4.在方程中,令x=±c得
57、y
58、=,在方程中,令y=±c得
59、x
60、=,依题意有=3,∴b2=12.∴椭圆的方程为探究提
61、高运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a、b的方程组,先定型、再定量,若位置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),由题目所给条件求出m、n即可.知能迁移2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程;(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1)、P2(-,-),求椭圆的方程.解(1)若焦点在x轴上,设方程为(a>b>0).∵椭圆过P(3,0),∴又2a=3×2b,∴b=1,方程为若焦点在
62、y轴上,设方程为∵椭圆过点P(3,0),∴=1,又2a=3×2b,∴a=9,∴方程为∴所求椭圆的方程为b=3.(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).∵椭圆经过P1、P2点,∴P1、P2点坐标适合椭圆方程,则①、②两式联立,解得∴所求椭圆方程为①②题型三椭圆的几何性质【例3】已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的范围;(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.(1)在△PF1F2中,使用余弦定理和
63、PF1
64、+
65、PF2
66、=2a,可求
67、PF1
68、
69、·
70、PF2
71、与a,c的关系,然后利用基本不等式找出不等关系,从而求出e的范围;(2)利用
72、PF1
73、·
74、PF2
75、sin60°可证.思维启迪(1)解设椭圆方程为
76、PF1
77、=m,
78、PF2
79、=n.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°.∵m+n=2a,∴m2+n2=(m+n)