属于不同特征值的特征向量正交.ppt

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1、§1向量的内积、长度及正交性1.内积的定义及性质2.向量的长度及性质3.正交向量组的定义及求解4.正交矩阵与正交变换定义1内积1.内积的定义及性质内积的性质定义2令长度范数向量的长度具有下述性质：2.向量的长度及性质（1）正交的定义（2）正交向量组的定义一组两两正交的非零向量，称为正交向量组．3.正交向量组的定义及求解证明（3）正交向量组的性质例1已知三维向量空间中两个向量正交，试求一个非零向量，使两两正交。即解之得由上可知两两正交.则有解定义设V为向量空间，如果r个向量且满足线性无关；（1）（2）V中任一向量都可由线性表示，那么，向量组就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V

2、为r维向量空间。（4）标准正交基例如（1）正交化，取，（5）标准正交基的求解（2）单位化，取例２用施密特正交化方法，将向量组标准正交化.解先正交化，取再单位化，得标准正交向量组如下4.正交矩阵与正交变换定义4如果n阶矩阵A满足ATA=E（即A-1=AT），那么称A为正交矩阵，简称正交阵。性质正交变换保持向量的长度不变．证明定义5若为正交阵，则线性变换称为正交变换．作业P138：1,2（2）§2方阵的特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义及求解2.特征值与特征向量的性质3.小结说明1.特征值与特征向量的定义及求解解例5例6解所以kp1(k≠0)是对应于的全部特征向量。所以kp2(k≠0)是对

3、应于的全部特征向量。例7设是方阵A的特征值，证明例8设3阶矩阵A的特征值为1，-1，2，求A*+3A-2E的特征值。2.特征值与特征向量的性质（1）特征值的性质（2）特征向量的性质求矩阵特征值与特征向量的步骤：3.小结作业P139：6（2）；13§3相似矩阵1.相似矩阵与相似变换的定义2.相似矩阵的性质3.利用相似变换将方阵对角化4.小结1.相似矩阵与相似变换的定义证明2.相似矩阵的性质推论若阶方阵A与对角阵3.利用相似变换将方阵对角化如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化．A能否对角化？若能对角例10解

4、解之得基础解系所以可对角化.注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．问t为何值时，矩阵A能对角化？时，可求得线性无关的特征向量恰有1个，例11有2个线性无关的特征向量，即方程解故矩阵A可对角化的充分必要条件是对应重根要R(A-E)=1，得t+1=0，即t=-1.因此，当t=-1时，矩阵A能对角化.亦即系数矩阵A-E的秩R(A-E)=1.（A-E）x=0有2个线性无关的解，相似矩阵与相似变换这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．相似变换是对方阵

5、进行的一种运算，它把A变成　　　，而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵．4.小结作业P139:15,16§4对称矩阵的对角化1.对称矩阵的性质2.利用正交矩阵将对称阵对角化3.小结性质1对称矩阵的特征值为实数。1.对称矩阵的性质根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵A对角化的步骤为：2.利用正交矩阵将对称阵对角化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.解例12对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化解于是得正交阵例13设解得A的特征值于是求An1.对称矩阵的性质3

6、.小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，可将其化为对角阵。2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)将特征向量单位化。作业P140:20