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《A不同特征值所对应的特征向量线性无关》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、A不同特征值所对应的特征向量线性无关.若A有n个互异特征值,则一定有n个线性无关的特征向量.属于不同特征值的线性无关的特征向量仍线性无关.复习上讲主要内容实对称阵不同特征值的实特征向量必正交.实对称阵的ri重特征值i一定有ri个线性无关的实特征向量.1本节主要内容相似矩阵的概念方阵相似对角化的条件与方法几何重数与代数重数实对称矩阵正交相似对角化的方法7.2相似矩阵2设A,B是两个n阶方阵,如果存在可逆矩阵T,使T-1AT=B则称A与B相似,记作A~B.从A到B的这种变换称为相似变换,T为相似变换矩阵.7.2.1相似
2、矩阵的概念1定义例如T-1ET=E,3即相似关系满足:(1)自反性:A~A;(2)对称性:若A~B,则B~A;(3)传递性:若A~B,B~C,则A~C.矩阵的相似关系是上的一种等价关系,所以彼此相似的矩阵构成一个等价类,最简单的代表元就是对角阵.42相似矩阵的特征多项式定理7.2若A与B相似,则特征多项式同,即证因A与B相似,所以存在可逆矩阵T,使T-1AT=B5则是A的n个特征值.推论若n阶方阵A与对角阵相似,结论成立.63相似矩阵有5同(4)迹同:(1)特征多项式同:(2)特征值同:(3)行列式同:(5)秩同:
3、如果A,B是两个n阶方阵,A~B.则有但逆命题不成立即特征值同但不相似阵(2)的反例如下:7(1)相似矩阵有相同的可逆性,当A可逆时,若A~B,则A-1~B-1,B*~A*,B*=T-1A*T.(2)若A~B,则Am~Bm,其中m是正整数.(3)若A~B,设f(x)是一个一元多项式,则f(A)~f(B),4相似矩阵的性质(5)若A~B,则对常数t有(4)若A~B,则AT~BT.8与相似,解由
4、5E–A
5、=5-5x=0x=1tr(A)=tr()y=-1.例1求x,y.两矩阵相似等价5矩阵的相似与等价的关系显然A有特
6、征值5,-5.97.2.2相似对角化的条件及方法1定义若A与对角阵相似,称A可以相似对角化.2相似对角化的条件定理7.3n阶方阵A与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量.A的n个线性无关的特征向量,且的主对角线上元素是与其对应的特征值.T-1AT=为对角阵T的n个列向量是10证设A与对角阵相似,则可逆阵T,使所以有AT=T用T1,T2,…,Tn表示T的n个列向量,即T=(T1,T2,…,Tn)(注意:证明过程给出相似对角化的方法)11即A(T1,…,Tn)=(AT1,…,ATn)=等式两边的列向量应当对应相等
7、,所以:由T可逆知,T1,…,Tn线性无关,故是A的n个线性无关的特征向量.12设T1,T2,…,Tn是n个线性无关的列向量,满足:ATi=iTi,i=1,2,…,n如果令T=(T1,T2,…,Tn)AT=A(T1,T2…,Tn)=(AT1,AT2,…,ATn)=(1T1,2T2,…,nTn)=(T1,T2,…,Tn)diag(1,2,…,n)=Tdiag(1,2,…,n)T-1AT13A可相似对角化.若A有n个互异特征值例如,n阶单位阵E可对角化,但是它的互异特征值只有1个(n重).属于A的不同
8、特征值的特征向量线性无关问题：若A可相似对角化,那么A一定有n个互异特征值?推论1147.2.3几何重数与代数重数几何重数:矩阵A的每个特征值i的特征子空间Vi的维数为i的几何重数.(即(iE-A)X=0基础解系含向量的个数).代数重数:(i在特征方程中的重根数).A的特征值的几何重数代数重数.定理7.4注复矩阵A的所有特征值的代数重数之和每个特征值几何重数=代数重数时.复矩阵A可相似对角化=n,所以有15解x=y.R(E–A)=1,可相似对角化,求x,y满足的条件.例2R(3E–A)=2特征值为1，1，
9、3.16设三阶方阵A的特征值为1,-1,-1,依次是对应的特征向量,求A与A9.T1=,100T2=,01-1T3=32-1解设则经验证T1,T2,T3线性无关,A可相似对角化.例3177.3实对称阵的的正交相似对角化187.3.1实对称阵的特征值与特征向量实对称阵的性质:性质1实对称阵的特征值都是实数.性质2实对称阵对应于不同特征值的实特征向量必正交.证设A是n阶实对称矩阵,是A的的特征值,且A=,A2=22往证1T2=0.11T2=(11)T2=(A1)T2=1T
10、AT2=1T(A2)=T(22)=21T2(1-2)1T2=01T2=0.197.3.2实对称阵的正交相似对角化实对称矩阵可以正交相似对角化.其中是A的特征值.证A为n阶实对称阵,有定理7.6即:若A为n阶实对称阵,则正交阵P,使得(证明过程给出方法)20不同特征值λ1λ2…λs代数重数r1r2…rs几何重
