最新特征值定义与求法-特征值性质-不同值特征向量无关定义幻灯片.ppt

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1、特征值定义与求法-特征值性质-不同值特征向量无关定义友情提示本次课讲第五章第二三节：特征值应用相似矩阵与对角化下次课讲第五章第四节：二次型及标准化下次上课时交作业P43-442文学课件行业文档敬请阅读第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化复习：正交矩阵与正交变换的概念定义4如果n阶矩阵A满足（即），那么称A为正交矩阵.3文学课件行业文档敬请阅读（2）特征向量的求法：设为方阵A的一个特征值，则由方程可求得非零解，便是A的对应于特征值的特征向量.第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量3.特征值与特征向量的性质（1）利用特征值计算行列式若n阶矩阵A的特征值为则7文学课件行业文档敬请阅读1

2、)2)（2）1)设λ是方阵A的特征值，证明:证：因λ是A的特征值，所以存在使得于是依次类推可得:第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化8文学课件行业文档敬请阅读（3）不同的特征值对应的特征向量线性无关第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化9文学课件行业文档敬请阅读证设有常数，即则同理:将上面各式写成矩阵的形式:第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化10文学课件行业文档敬请阅读或:当个不相同时，范德蒙德行列式则该方程组有唯一零解但，所以所以向量组线性无关.第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化11文学课件行业文档敬请阅读第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化12文学课件行业文档敬请阅

3、读第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化13文学课件行业文档敬请阅读第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化14文学课件行业文档敬请阅读第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化15文学课件行业文档敬请阅读第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化16文学课件行业文档敬请阅读定义：设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似.对A进行运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.（2）对角化的概念：1.相似矩阵与对角化（1）相似矩阵的概念二、矩阵对角化问题的研究2.相似矩阵的性质（1）特征值相同性定理3若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特

4、征多项式相相同，从而A与B的特征值也相同。第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化17文学课件行业文档敬请阅读证因A与B相似，即有可逆矩阵P，使所以（2）对角化的特征值即对角矩阵的对角线元素推论若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则即是A的n个特征值.证因就是Λ的n个特征值，由相似矩阵特征值相同定理知它们也是A的n个特征值.第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化18文学课件行业文档敬请阅读第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化定理4n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.1.n阶方阵A对角化的条件三、对角化方法研究——求相似矩阵P19文学课件行业文

5、档敬请阅读证：必要性：把P用列向量表示为于是有而P的列向量就是A的对应于特征值可见是A的特征值，的特征向量.第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化20文学课件行业文档敬请阅读充分性：如果Ａ有ｎ个线性无关的特征向量，则以这ｎ个特征向量为向量组组成矩阵Ｐ2.An对角化的判定方法第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化21文学课件行业文档敬请阅读第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化22文学课件行业文档敬请阅读概括矩阵A对角化的判断路线如下：第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化23文学课件行业文档敬请阅读第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化24文学课件行业文档敬请阅读第十三讲：特征值应

6、用，相似矩阵与对角化25文学课件行业文档敬请阅读第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化26文学课件行业文档敬请阅读对角化即可相似化，关键看是否有n个无关特征向量，单根能保证，即关键是k重根是否有k个无关向量。有一类我们熟悉的矩阵叫对称矩阵，对称矩阵不但能保证相似化，而且保证k重根有k个无关特征向量，四、对称矩阵的对角化1.对称矩阵的概念那么A称为对称矩阵.如对称矩阵的元素全是实数，则称为实对称矩阵概念回顾：设A为n阶方阵，若满足即2.对称矩阵的性质（1）定理5实对称矩阵的特征值为实数.（2）定理6设是对称矩阵A的两个特征值，是对应的特征向量，若，则与正交.第十三讲：特征值应用，相似

7、矩阵与对角化27文学课件行业文档敬请阅读证因，有所以与正交.3.对称矩阵对角化结论：定理7:设A为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.使该结论与定理不予证明，只作为可对角化的结论应用第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化结论:设A为n阶对称矩阵，λ是A的特征方程的k重根，则矩阵的秩R=n－k,从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量.28文学课件行业文档敬请阅读第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化4.对称矩阵对角化的步骤概