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1、特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1.设A是数域P上的一个n阶矩阵，l是一个未知量，称为A的特征多项式，记¦(l)=
2、lE-A
3、，是一个P上的关于l的n次多项式，E是单位矩阵。¦(l)=
4、lE-A
5、=ln+a1ln-1+…+an=0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(l)=
6、lE-A
7、=0的根(如：l0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。以A的特征值l0代入(lE-A)X=q，得方
8、程组(l0E-A)X=q，是一个齐次方程组，称为A的关于l0的特征方程组。因为
9、l0E-A
10、=0，(l0E-A)X=q必存在非零解X(0)，X(0)称为A的属于l0的特征向量。所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。 一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A，由AX=l0X，l0EX=AX，得：[l0E-A]X=q即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式
11、l0E-A
12、=0的根，由代数基本定理有n个复根l1,l2,…,ln，为A的n个特征根。当特征根li(I=1,2,…,n)求出后，(li
13、E-A)X=q是齐次方程，li均会使
14、liE-A
15、=0，(liE-A)X=q必存在非零解，且有无穷个解向量，(liE-A)X=q的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。例1.求矩阵的特征值与特征向量。解：由特征方程解得A有2重特征值l1=l2=-2，有单特征值l3=4对于特征值l1=l2=-2，解方程组(-2E-A)x=q得同解方程组x1-x2+x3=0解为x1=x2-x3(x2,x3为自由未知量)分别令自由未知量得基础解系所以A的对应于特征值l1=l2=-2的全部特征向量为x=k1x1+k2x2(k1,k2
16、不全为零)可见，特征值l=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数£特征根的重数。对于特征值l3=4，方程组(4E-A)x=q得同解方程组为通解为令自由未知量x3=2得基础解系所以A的对于特征值l3=4得全部特征向量为x=k3x3 例2. 求矩阵的特征值与特征向量解：由特征方程解得A有单特征值l1=1，有2重特征值l2=l3=0对于l1=1，解方程组(E-A)x=q得同解方程组为同解为令自由未知量x3=1，得基础解系所以A的对应于特征值l1=1的全部特征向量为x=k1x1(k1¹0
17、)对于特征值l2=l3=0，解方程组(0E-A)=q得同解方程组为通解为令自由未知量x3=1，得基础解系此处，二重根l=0的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数<特征根的重数，这种情况下，矩阵A是亏损的。所以A的对应于特征值l2=l3=0得全部特征向量为x=k2x3 例3． 矩阵的特征值与特征向量解：由特征方程解得A的特征值为l1=1,l2=i,l3=-i对于特征值l1=1，解方程组(E-A)=q，由得通解为令自由未知量x1=1，得基础解系x1=(1,0,0)T，所以A的对应于特征值l1=1得全部特征向量为x=k
18、1x1对于特征值l2=i，解方程组(iE-A)=q得同解方程组为通解为令自由未知量x3=1，得基础解系x2=(0,i,1)T，所以A对应于特征值l2=1的全部特征向量为x=k2x2(k2¹0)。对于特征值l3=-i，解方程组(-E-A)x=q，由得同解方程组为通解为令自由未知量x3=1，，得基础解系x3=(0,-i,1)T，所以A的对应于l3=-i的全部特征向量为x=k3x3。特征根为复数时，特征向量的分量也有复数出现。特征向量只能属于一个特征值。而特征值li的特征向量却有无穷多个，他们都是齐次线性方程组(liE-A)
19、x=q的非0解。其中，方程组(liE-A)x=q的基础解系就是属于特征值li的线性无关的特征向量。 性质1.n阶方阵A=(aij)的所有特征根为l1，l2，…,ln(包括重根)，则 证第二个式子：由伟达定理，l1l2…ln=(-1)nan又
20、lE-A
21、=ln+a1ln-1+…+an-1l1+an中用l=0代入二边，得：
22、-A
23、=an，而
24、A
25、=(-1)nan=l1l2…ln， 性质2.若l是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。证：可见是A-1的一个特征根。其中l¹0
26、，这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若li=0,
27、A
28、=l1l2…ln=0，A奇异，与A可逆矛盾。 性质3.若l是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则lm是Am的一个特征根，x仍为对应的特征向量。证：1)Ax=lx，二边左乘A，得：A2x=Alx=lAx=llx=l2x，可见l2是A2的特征根；2)若lm是Am的一个特征
