特征值与特征向量的计算

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1、第10章矩阵特征值与特征向量的计算10.1幂法及反幂法10.2Jacobi方法10.3QR方法10.4特征值与特征向量的MATLAB函数求解10.5实例解析本章目标：计算矩阵的特征值及对应的特征向量一、幂法条件：A有特征根

2、1

3、>

4、2

5、…

6、n

7、0，对应n个线性无关的特征向量………

8、i/1

9、<1当k充分大时，有这是A关于1的近似特征向量思路：从任意出发，要求10.1幂法及反幂法规范化为避免大数出现，需将迭代向量规范化，即每一步先保证，再代入下一步迭代。一般用。记：则有：一般地,不妨设：A为实

10、方阵,有特征值

11、1

12、

13、2

14、…

15、n

16、,对应n个线性无关的特征向量当

17、1

18、=

19、2

20、时,需分情况加以讨论:(1)1=2;(2)1=-2;(3)1,2为共轭复数;算法的一般化——实际计算中的幂法1°1=-2;

21、1

22、>

23、3

24、…

25、n

26、从任意出发，不妨假定当k充分大时,有:同号同号所以可以证明，对应于1的A的特征向量为：事实上，类似地，对应于2的A的特征向量为：2°

27、1

28、=

29、2

30、>

31、3

32、…

33、n

34、此时,1和2有可能是共轭复数(也可能1=2,也可能是情况1°

35、1=-2);

36、1

37、>

38、3

39、.不妨假设当k充分大时,有:Q:如何找到表示1(2)的较好的关系呢?消元?降次?不难验证:间近似地成立下述线性关系为求得1和2,可任取两组分量,并解下列方程组得p,q:其余分量是否也满足关系式?若满足即,1和2是方程2+p+q=0的两个根:显然:p2<4q,1和2是共轭复根;若p2=4q,则1=2;若p=0,则1=-2.不难验证:A的对应于1的特征向量为：A的对应于2的特征向量为：小结:根据以上讨论,用乘幂法进行计算:当k充分大时,检查是否出现下

40、列三种情况之一:(1)趋近于某一常数;(2)趋近于某一常数;(3)的波动不规律,但相继三向量间满足关系若是,就可求出A的模最大的特征值和相应的特征向量.注:实际计算时,由于其他情况的存在,上述三种情况均不出现时,需考虑其他算法.因此乘幂法在某种意义上来说只能用来试算.原点平移法决定收敛的速度，特别是

41、2/1

42、希望

43、2/1

44、越小越好。不妨设1>2…n，且

45、2

46、>

47、n

48、。12nOp=(2+n)/2思路令B=ApI，则有

49、IA

50、=

51、I(B+pI)

52、=

53、(p)IB

54、

55、Ap=B。而，所以求B的特征根收敛快。p是假定的,p究竟是多少?p的选择或凭借于经验,或通过多次试算而得.二、反幂法若A有

56、1

57、

58、2

59、…>

60、n

61、,则A1有对应同样一组特征向量。11111lll…>-nnA1的主特征根A的绝对值最小的特征根Q:Howmustwecomputeineverystep?A:SolvealinearsystemwithAfactorized.若知道某一特征根i的大致位置p,即对任意ji有

62、ip

63、<<

64、jp

65、,并且如果(ApI)1存在，则可以用反

66、幂法求(ApI)1的主特征根1/(ip)，收敛将非常快。思路(1)用反幂法求A的按模最小的特征根(2)利用反幂法将特征根的近似值精确化若j’是A的特征值j的近似值,且设j是A的特征方程的单根,并满足:

67、jj’

68、<

69、ij

70、,i≠j.jj’是A-j’I的按模最小特征值.给定实对称矩阵A，计算步骤如下：(1)找出A中非对角元素绝对值最大的元素aij，确定i和j;(2)用下列公式确定cos和sin：当aii=ajj,aij＞0时,取=/4;当aii=aij,aij＜0时,取

71、=-/4;当aii≠aij时,(3)对A作正交变换(4)以A1代替A，重复(1),(2),(3)，直至

72、aij

73、＜(i≠j)时为止．此时Ak中对角线元素即为所求的特征值，逐步变换矩阵Rl,R2,…,Rk的乘积Uk＝R1R2...Rk的列向量即为所求的特征向量.10.2Jacobi方法设A为n×n阶非奇异矩阵．令A1=A,对A1进行QR分解,则A1=Q1R1,再令A2=R1Q1;这就完成一次迭代．一般迭代公式为Ak=QkRk,Ak+1=RkQk,k=1,2,…由此得到一矩阵序列{Ak}．设A的n个特征值满

74、足

75、1

76、>

77、2

78、>……

79、n

80、>0,则当n时,Ak本质上收敛于一三角矩阵R.于是R主对角线上的元素就是所求的特征值.矩阵A的QR分解可借助于施密特正交化过程得到.记A的n个列依次为1,2,…,n.A1=Q1R1,A2=R1Q1;即A2=Q1-1A1Q1;A2=Q2R2,A3=R2Q2;即A3=Q2-1A2Q2;……Ak=QkRk,Ak+1=RkQk=QkTAkQk;由Qk的正交性,{A