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《矩阵特征值与特征向量求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、淮阴师范学院毕业论文(设计)摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题.关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵13淮阴师范学院毕业论文(设计)Abstract：Firstly，itisgivenmatrixeigenvaluesandeigenvectorsoftwoothermethods,thenwiththepropertiesofeigenvaluethecontractofmatrixdiscussed,wedeepl
2、ydiscussthesufficientandnecessaryconditionsforthesimilarmatrixcontract,andtheinversematrixoftherelatedproblemsolving.Keywords:matrixcharacteristicpolynomial,eigenvalue,eigenvector,diagonalmatrices,inversematrix13淮阴师范学院毕业论文(设计)目录1前言……………………………………………………………………42矩阵的特征值和特征向量的求法
3、………………………………………42.1矩阵的初等变换法………………………………………………42.2矩阵的行列互逆变换法……………………………………………63矩阵特征值的一些性质及应用…………………………………………73.1矩阵之间的关系………………………………………………………73.1.1矩阵的相似…………………………………………………………73.1.2矩阵的合同…………………………………………………………73.2逆矩阵的求解…………………………………………………………83.3矩阵相似于对角矩阵的充要条件……………………………………83.4
4、矩阵的求解……………………………………………………………93.5矩阵特征值的简单应用………………………………………………10结论………………………………………………………………………11参考文献……………………………………………………………………12致谢………………………………………………………………………1313淮阴师范学院毕业论文(设计)1前言矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值
5、问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值.2特征值和特征向量的求解方法求阶矩阵的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵的特征多项式的全部特征根,然后对每个特征根求解齐次线性方程组的一个基础解系,即为的属于特征根的线性无关的特征向量.现再此基础上另外介绍两种求矩阵特征值和特征向量的方法.2.1矩阵的初等变换法这种方法在求解矩阵特征向量的同时就得到属于特征根的特征向量.定理设齐次线性方程组的系数矩阵的秩数,的非奇异矩阵的后列便构成线性方程组的一个基础解系.在运用传统方法求解矩阵的特征值时,我们求的全部特征根时是通过将矩阵经过一系列的初等变换化
6、成三角矩阵，这里我们可以受此启发,将它变换成下三角矩阵.由定理1知,当矩阵经过一系列的初等列变换变换成时,求得的就是矩阵的特征值,然后将代入,中的0列所对应的列就是所对应的特征向量.例1已知矩阵,求矩阵的特征值和特征向量.13淮阴师范学院毕业论文(设计)解由知的特征根,.当时,,特征向量.当时,,特征向量.13淮阴师范学院毕业论文(设计)2.2矩阵的行列互逆变换法定理对于任意的矩阵,矩阵都能经过一系列的行列互逆变换变成.其中.因为若尔当矩阵是下三角形矩阵,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全部根（重根按重数计算）.因此在
7、求解矩阵的特征值时我们又可以通过将矩阵进行行列互逆变换,从而得到特征值,以及它对应的特征向量.例2求矩阵的特征值与特征向量.解13淮阴师范学院毕业论文(设计)所以特征值,对应特征值的特征向量,对应的特征值的特征向量.3矩阵特征值的一些性质及应用3.1矩阵之间的关系3.1.1矩阵的相似性质1如果存在阶可逆矩阵,使得阶矩阵和满足,即矩阵与矩阵相似,为矩阵的特征值,为所对应的特征向量,则也为矩阵的特征值,且对应于的特征向量为.注反之不成立,即矩阵有相同特征值的矩阵不一定相似.性质2矩阵与都是阶矩阵,乘积矩阵与不一定相似,但却有相同的特征值.证明若
8、0是的特征值,则故不可逆,于是与中至少有一个不可逆,从而不可逆,故有非零向量使,即0是的特征值.设是的特征值,即存在使得.令,则,因此于是,即是属于的特征向量,是的特征值,同理可
