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时间:2020-06-11
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1、高二数学常用逻辑用语、椭圆和双曲线的定义人教实验B版(文)【本讲教育信息】一.教学内容:常用逻辑用语、椭圆和双曲线的定义、标准方程及几何性质二.本周学习目标:命题与量词,含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式,四种命题的关系,充分、必要条件。掌握椭圆和双曲线的定义,标准方程,能根据条件利用待定系数法求其方程,掌握其几何性质。了解它们的参数方程,能根据方程讨论曲线的性质,掌握直线与椭圆,直线和双曲线的位置关系的判断方法。三.考点分析1、椭圆:2、双曲线:3、双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少
2、相同或类似之处,要注意它们的区别与联系,不能混淆,列表如下:椭圆双曲线方程、、的关系图形范围对称性对称轴:轴、轴对称中心:原点对称轴:轴、轴对称中心:原点顶点、、、实轴长长轴长,短轴长虚轴长离心率,(),渐近线无有两条,其方程为圆锥曲线的几何性质,圆锥曲线各元素之间的相互依存关系,特别是双曲线的渐近线性质.有关离心率、渐近线的问题以及圆锥曲线的第二定义的应用.关键是要注意数形结合、方程思想及等价转化思想的运用.理解直线与椭圆,双曲线的位置关系,能判定直线与二者的位置关系,会求直线截圆锥曲线所得的弦长,处理与
3、弦长、弦的中点有关的问题.对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线的特有性质,要重视渐近线的发现和论证过程,明确双曲线的渐近线的作用,利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便,而且较为精确,只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线,就能画出它的近似图形.椭圆是封闭曲线,没有渐近线。4、求曲线方程的基本程序:若已知条件涉及到焦点,准线方程式时,利用定义求解较简便.5、使学生掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的求法.简单且实用的方法是:如果两条渐近线的方程为,那么双曲线的方程为,这里,是待定系数,其值可由题目中的已知条件确
4、定.6、命题与量词,含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式,四种命题的关系,充分、必要条件。【典型例题】 例1.已知椭圆,求过点且被平分的弦所在的直线的方程. 分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为,利用条件求. 解法一:设所求直线的斜率为,则直线方程为.代入椭圆方程,并整理得. 由韦达定理得. ∵是弦中点,∴.故得. 所以所求直线方程为. 分析二:设弦两端坐标为、,列关于、、、的方程组,从而求斜率:.解法二:设过的直线与椭圆交于、,则由题意得 ①-②得.⑤ 将③、④
5、代入⑤得,即直线的斜率为. 所求直线方程为. 注:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦的中点轨迹. (2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率. (3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理的应用”及“点差法”.有关二次曲线的问题也适用.例2.过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程. 解法一:设所求直线的方程为,代入椭圆方程并整理,得 .设直线与椭圆的交点为、,则是上述方程的两根,于是
6、又为的中点 ∴.解得. 故所求直线的方程为. 解法二:设直线与椭圆的交点为、. ∵为的中点 ∴,. 又、两点在椭圆上,则, 两式相减得 于是. ∴即 故所求直线的方程为.解法三:设所求直线与椭圆的一个交点为,由于中点为,则另一个交点为. ∵、两点都在椭圆上. ∴.①②①-②得.由于过、的直线只有一条,故所求直线的方程为.例3.如果直线与双曲线没有公共点,求的取值范围. 解:由得即此方程无解. 由得或则的取值范围为或.引申:(1)如果直线与双曲线有两个公共点,求的取值范围. 解析
7、:直线与双曲线有两个公共点式方程有两个不等的根且 (2)如果直线与双曲线只有一个公共点,求的取值范围. 解析:此时等价于(﹡)式方程只有一解 当即时,(﹡)式方程只有一解 当时,应满足 解得故的值为或 (3)如果直线与双曲线的右支有两个公共点,求的取值范围. 解析:此时等价于(﹡)式方程有两个不等的正根 即 (4)如果直线与双曲线的左支有两个公共点,求的取值范围. () (5)如果直线与双曲线两支各有一个交点,求的取值范围. 解析:此时等价于(﹡)式方程有两个相异实根即即.例4.椭圆
8、,与直线相交于、两点,是的中点.若,斜率为(为原点),试确定椭圆的方程.(如图) 分析:注意利用弦长公式,计算比较复杂 解法一:由方程组得 设、、,则. ∴,由题设得①又 ②解①、②得,.∴椭圆方程为. 解法二:由得的方程为, 由解得. 又由得. 所以即①. 又因为得②, 由①、②求出, 故所求椭圆方程为. 解法三:由得. 因为,所以直线的倾斜角为135°. 又知是的中点,,所以
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