高二数学常用逻辑用语、椭圆和双曲线的定义人教实验B版（文）（通用）.doc

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1、高二数学常用逻辑用语、椭圆和双曲线的定义人教实验B版（文）【本讲教育信息】一.教学内容：常用逻辑用语、椭圆和双曲线的定义、标准方程及几何性质二.本周学习目标：命题与量词，含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式，四种命题的关系，充分、必要条件。掌握椭圆和双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求其方程，掌握其几何性质。了解它们的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与椭圆，直线和双曲线的位置关系的判断方法。三.考点分析1、椭圆：2、双曲线：3、双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少

2、相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下：椭圆双曲线方程、、的关系图形范围对称性对称轴：轴、轴对称中心：原点对称轴：轴、轴对称中心：原点顶点、、、实轴长长轴长，短轴长虚轴长离心率，（），渐近线无有两条，其方程为圆锥曲线的几何性质，圆锥曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质．有关离心率、渐近线的问题以及圆锥曲线的第二定义的应用．关键是要注意数形结合、方程思想及等价转化思想的运用．理解直线与椭圆，双曲线的位置关系，能判定直线与二者的位置关系，会求直线截圆锥曲线所得的弦长，处理与

3、弦长、弦的中点有关的问题．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，要重视渐近线的发现和论证过程，明确双曲线的渐近线的作用，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．椭圆是封闭曲线，没有渐近线。4、求曲线方程的基本程序：若已知条件涉及到焦点，准线方程式时，利用定义求解较简便．5、使学生掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的求法．简单且实用的方法是：如果两条渐近线的方程为，那么双曲线的方程为，这里，是待定系数，其值可由题目中的已知条件确

4、定．6、命题与量词，含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式，四种命题的关系，充分、必要条件。【典型例题】　例1.已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线的方程．　　分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．　　解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得．　　由韦达定理得．　　∵是弦中点，∴．故得．　　所以所求直线方程为．　　分析二：设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从而求斜率：．解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得　　①－②得．⑤　　将③、④

5、代入⑤得，即直线的斜率为．　　所求直线方程为．　　注：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦的中点轨迹．　　（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．　　（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理的应用”及“点差法”．有关二次曲线的问题也适用．例2.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程．　　解法一：设所求直线的方程为，代入椭圆方程并整理，得　　．设直线与椭圆的交点为、，则是上述方程的两根，于是　　

6、又为的中点　　∴．解得．　　故所求直线的方程为．　　解法二：设直线与椭圆的交点为、．　　∵为的中点　　∴，．　　又、两点在椭圆上，则，　　两式相减得　　于是．　　∴即　　故所求直线的方程为．解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，由于中点为，则另一个交点为．　　∵、两点都在椭圆上．　　∴．①②①－②得．由于过、的直线只有一条，故所求直线的方程为．例3.如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围．　　解：由得即此方程无解．　　由得或则的取值范围为或．引申：（1）如果直线与双曲线有两个公共点，求的取值范围．　　解析

7、：直线与双曲线有两个公共点式方程有两个不等的根且　　（2）如果直线与双曲线只有一个公共点，求的取值范围．　　解析：此时等价于（﹡）式方程只有一解　　当即时，（﹡）式方程只有一解　　当时，应满足　　解得故的值为或　　（3）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围．　　解析：此时等价于（﹡）式方程有两个不等的正根　　即　　（4）如果直线与双曲线的左支有两个公共点，求的取值范围．　　（）　　（5）如果直线与双曲线两支各有一个交点，求的取值范围．　　解析：此时等价于（﹡）式方程有两个相异实根即即．例4.椭圆

8、，与直线相交于、两点，是的中点．若，斜率为（为原点），试确定椭圆的方程．（如图）　　分析：注意利用弦长公式，计算比较复杂　　解法一：由方程组得　　设、、，则．　　∴，由题设得①又　　　　②解①、②得，．∴椭圆方程为．　　解法二：由得的方程为，　　由解得．　　又由得．　　所以即①．　　又因为得②，　　由①、②求出，　　故所求椭圆方程为．　　解法三：由得．　　因为，所以直线的倾斜角为135°．　　又知是的中点，，所以