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1、课时作业(五十) 一、选择题1．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )A．－B．－C.D.解析：抛物线方程可化为x2＝－，其准线方程为y＝.设M(x0，y0)，则由抛物线的定义，可知－y0＝1⇒y0＝－.答案：B2．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A．x2＝4yB．x2＝－4yC．y2＝－12xD．x2＝－12y解析：双曲线焦点为(0，±3)，故抛物线方程为：x2＝±12y.故选D.答案：D3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有
2、( )A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)，选C.答案：C4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A．y2＝±4xB．y2＝4xC．y2＝±8xD．y2＝8x解析：F，直线方程为y＝2，令x＝0，得A，S△AOF＝
3、－
4、·
5、
6、＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.故选C.答案：C5．(2012年安徽)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物
7、线于A，B两点，O为坐标原点．若
8、AF
9、＝3，则△AOB的面积为( )A.B.C.D．2解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
10、AF
11、＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A点坐标为(2,2)，则直线AB的斜率k＝＝2.∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即为2x－y－2＝0，则点O到该直线的距离为d＝.由消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝.∴
12、BF
13、＝x2＋1＝，∴
14、AB
15、＝3＋＝.∴S△AOB＝
16、AB
17、·d＝××＝.答案：C6．(2012年课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B
18、两点，
19、AB
20、＝4，则C的实轴长为( )A.B．2C．4D．8解析：设双曲线的方程为－＝1，抛物线的准线为x＝－4，且
21、AB
22、＝4，故可得A(－4,2)，B(－4，－2)，将点A坐标代入双曲线方程得a2＝4，故a＝2，故实轴长为4.答案：C二、填空题7．(2012年重庆)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若
23、AB
24、＝，
25、AF
26、<
27、BF
28、，则
29、AF
30、＝________.解析：F点坐标为，设A，B两点的横坐标为x1，x2.因
31、AF
32、<
33、BF
34、，故直线AB不垂直于x轴．设直线AB为y＝k，联立直线与抛物线的方程得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，①则x1＋x
35、2＝，又
36、AB
37、＝x1＋x2＋1＝，可解得k2＝24，代入①式得12x2－13x＋3＝0，即(3x－1)(4x－3)＝0.而
38、AF
39、<
40、BF
41、，所以x1＝，由抛物线的定义得
42、AF
43、＝x1＋＝.答案：8．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．解析：当m>0时，准线方程为x＝－＝－2，∴m＝8.此时抛物线方程为y2＝8x；当m<0时，准线方程为x＝－＝4，∴m＝－16.此时抛物线方程为y2＝－16x.∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.答案：y2＝8x或y2＝－16x.9．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直
44、线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p＝________.解析：依题意，抛物线的焦点F的坐标为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得，y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，
45、AB
46、＝
47、AF
48、＋
49、BF
50、＝y1＋y2＋p＝4p，直角梯形ABCD有一个内角为45°.故
51、CD
52、＝
53、AB
54、＝×4p＝2p，梯形面积为(
55、BC
56、＋
57、AD
58、)×
59、CD
60、＝×3p×2p＝3p2＝12，解得p＝2.答案：2三、解答题10．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，
61、斜边长为2，一直角边的方程是y＝2x，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y＝2x，所以另一直角边的方程是y＝－x.由，解得，或(舍去)，由，解得，或(舍去)，∴三角形的另两个顶点为和(8p，－4p)．∴＝2.解得p＝，故所求抛物线的方程为y2＝x.11．已知抛物线方程x2＝4y，过点P(t，－4)作抛物线的两条切线PA、PB，切点分别为A、B.(1)求证：直线AB过定点(0,4)；(2)求△OAB(O为坐标原点)面积的最小值．解：(1)证明：设切点为A(x1，y1)、B(x2，y2)．又y′＝x，则切线PA的方程为y－y
