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1、课时作业(三十一)一、选择题1．(2011年大纲全国)设向量a，b满足
2、a
3、＝
4、b
5、＝1，a·b＝－，则
6、a＋2b
7、等于( )A.B.C.D.解析：∵
8、a
9、＝
10、b
11、＝1，a·b＝－，∴
12、a＋2b
13、2＝a2＋4b2＋4a·b＝1＋4＋4×(－)＝5－2＝3.∴
14、a＋2b
15、＝.答案：B2．(2012年唐山统考)在边长为1的正三角形ABC中，＝，E是CA的中点，则·＝( )A．－B．－C．－D．－解析：建立如图所示的直角坐标系，则A(－，0)，B(，0)，C(0，)，依题意设D(x1,0)，E(x2，y2)，∵＝，∴(x1－，0)＝(－1,0)，∴x1＝.∵E是CA的中点，∴＝，又
16、＝(－，－)，∴x2＝－，y2＝.∴·＝(，－)·(－，)＝×(－)＋(－)×＝－.故选A.答案：A3．(2012年长春调研)已知3a＋4b＋5c＝0，且
17、a
18、＝
19、b
20、＝
21、c
22、＝1，则a·(b＋c)＝( )A.B.C．－D．－解析：依题意得
23、3a
24、＝3，
25、4b
26、＝4，
27、5c
28、＝5，向量3a、4b、5c首尾相接构成一个直角三角形，因此有a·b＝0，a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝a·c＝
29、a
30、·
31、c
32、cosθ＝cosθ＝－(其中θ为向量a与c的夹角)，选D.答案：D4．△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，
33、a
34、＝3，
35、b
36、＝5，则a与b的夹角为( )A．30°B．
37、－150°C．150°D．30°或150°解析：S△ABC＝
38、a
39、
40、b
41、sinC＝，
42、a
43、＝3，
44、b
45、＝5，∴sinC＝，a·b＝
46、a
47、
48、b
49、cosC<0，C为钝角，所以C＝150°，a与b的夹角为150°，故应选C.答案：C5．(2012年山东聊城外国语学校二模)平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足(－)·(－)＝0，则三角形ABC是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：由(－)·(－)＝0得(－)·(＋)＝0，即(－)·＝0，(－)·(＋)＝0，即－＝0，所以
50、
51、＝
52、
53、，故为等腰三角形，选B.答案：B6．(2012年江西)在直角三角形A
54、BC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )A．2B．4C．5D．10解析：法一：以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴建立直角坐标系．设A(a,0)，B(0，b)，则D(，)，P(，)．从而
55、PA
56、2＋
57、PB
58、2＝(a2＋b2)＋(a2＋b2)＝(a2＋b2)＝10
59、PC
60、2，故选D.法二：因为－＝，且＋＝2，两式平方相加得22＋22＝2＋42＝42＋42＝202，故选D.法三：由平行四边形性质得2(2＋2)＝2＋(2)2＝42＋42＝202，故选D.答案：D二、填空题7．(2012年浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝____
61、____.解析：＝(＋)，＋＝2①－＝，②由①2－②2得4·＝42－2＝－64，即·＝－16.答案：－168．(2012年安徽)若平面向量a，b满足
62、2a－b
63、≤3，则a·b的最小值是________．解析：由向量的数量积知－
64、a
65、
66、b
67、≤a·b≤
68、a
69、
70、b
71、⇒
72、a
73、·
74、b
75、≥－a·b(当且仅当〈a，b〉＝π时等号成立)．由
76、2a－b
77、≤3⇒4
78、a
79、2－4a·b＋
80、b
81、2≤9⇒9＋4a·b≥4
82、a
83、2＋
84、b
85、2≥4
86、a
87、
88、b
89、≥－4a·b⇒a·b≥－(当且仅当2
90、a
91、＝
92、b
93、，〈a，b〉＝π时取等号)⇒a·b的最小值为－.答案：－9．(2012～2013学年河北省唐山高三年级摸底
94、)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a－b)sinB＝asinA－csinC，且a2＋b2－6(a＋b)＋18＝0，则·＋·＋·＝__________.解析：由(a－b)sinB＝asinA－csinC，利用正弦定理可得：(a－b)b＝a2－c2，∴ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝＝，∴C＝60°.由a2＋b2－6(a＋b)＋18＝0，则(a－3)2＋(b－3)2＝0，∴a＝b＝3，∵c2＝a2＋b2－ab，∴c2＝9.·＋·＋·＝·(＋)＋·＝·＋·＝－c2＋abcos＝－c2－ab＝－9－＝－.答案：－三、解答题10．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n
95、)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.解：(1)a·b＝2n－2，
96、a
97、＝，
98、b
99、＝，∴cos45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0(n>1)，∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b＝10，
100、a
101、2＝5.又c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)，(c－a)·a＝0，∴λb·a－
102、a
103、2＝0，∴λ＝＝＝，∴c＝b＝(－1,3)．11．2012年英国伦敦奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运
