现代控制理论4.doc

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1、第4章“线性系统的能控性与能观性”习题与解答4.1判断下列系统的能控性。1)2)3)解：1)由于该系统控制矩阵，系统矩阵，所以从而系统的能控性矩阵为显然有满足能控性的充要条件，所以该系统能控。2)由于该系统控制矩阵为系统矩阵为则有，从而系统的能控性矩阵为有满足能控性的充要条件，所以该系统能控。3)由于该系统控制矩阵为系统矩阵为则有，于是，系统的能控性矩阵为可知不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。4.2判断下列系统的输出能控性。1)2)解：1)系统输出完全能控的充分必要条件是，矩阵的秩为。由于所以而等于输出变量的数目，因此系统是输出能控的。2)系统输出完全能控的充要条件是，矩阵的秩为

2、。由于所以而等于输出变量的数目，因此系统是输出能控的。□4.3判断下列系统的能观测性。1)2)3)解1)系统的观测矩阵，系统矩阵，得系统能观性矩阵为可知满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。2)系统的观测矩阵，系统矩阵，于是系统能观性矩阵为易知满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。3)系统的观测矩阵，系统矩阵，于是系统能观测性矩阵为易知满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。4.4试确定当与为何值时下列系统不能控，为何值时不能观测。解系统的能控性矩阵为其行列式为根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为2，亦即，可知或。系统能观测性矩阵为其行列式为根据判定能观性

3、的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为2，亦即，可知或。□4.5试证明如下系统不论,,取何值都不能控。证系统的特征方程为解得特征值分别将其带入特征方程得我们知道基础解的个数，所以存在着两个线性无关的向量，可将化为:因为在约当块中有相同的根，由能控判据2可知无论,,为何值，系统均不能控。□4.7已知两个系统和的状态方程和输出方程分别为：：若两个系统按如图P4.2所示的方法串联，设串联后的系统为。1)求图示串联系统的状态方程和输出方程。2)分析系统，和串联后系统的可控性、可观测性。图P4.2串联系统结构图解1)因为，，，因此串联组合系统的状态方程为输出方程为2)串联后系统的能控性矩阵可见，，

4、因此，系统不能控。串联后系统的能观性矩阵可见，，因此，系统能观测。□4.10将下列状态方程化为能控标准形解该状态方程的能控性矩阵为知它是非奇异的。求得逆矩阵有，由得同理，由得从而得到由此可得，所以，此即为该状态方程的能控标准形。□4.11将下列状态方程和输出方程化为能观标准形。解给定系统的能观性矩阵为知它是非奇异的。求得逆矩阵有，由此可得，根据求变换矩阵公式有，代入系统的状态表达式。分别得所以该状态方程的能观标准型为□4.15系统的状态方程：试讨论下列问题：1)能否通过选择,,使系统状态完全可控？2)能否通过选择,,使系统状态完全可观？解1)可控性矩阵显然，第三行乘以即为第二行，故第二行与第

5、三行成比例，因而不论怎样选择,,，系统状态均不完全可控。2)可观性矩阵第一列等于第三列乘以，故不论怎样选择,,，系统均不完全可观。□4.19已知控制系统如图P4.4所示。图P4.4系统结构图1)写出以，为状态变量的系统状态方程与输出方程。2)试判断系统的能控性和能观性。若不满足系统的能控性和能观性条件，问当与取何值时，系统能控或能观。3)求系统的极点。解1)由图P4.4可知，，，则有将状态方程和输出方程写成矩阵形式，有2)系统能控能观性判断。能控性矩阵，无论与取何值，系统均能控。能观性矩阵此时无法判断系统的能观性。要使系统能观，应满秩，即，。3)系统的特征方程为则，系统的极点为。□4.21系

6、统传递函数为1)建立系统能控标准形实现。2)建立系统能观测标准形实现。解1)将分子分母同时除以，可得的首项为一的最小公分母为则，由于阵的，可采用能控性实现为验证由以上，，构成的状态空间表达式，必有，从而此为该系统的能控性实现。2)将分子分母同时除以，可得的首项为一的最小公分母为则，由于阵的，可采用能观性实现为验证由以上，，构成的状态空间表达式，必有，从而此为该系统的能观性实现。□4.22已知传递矩阵为试求该系统的最小实现。解的最小公分母是则有，为方便计算，先求其转置的实现：利用传递函数直接分解法可得在对其进行转置，得出系统实现为即为该系统的最小实现。□