指数函数、对数函数、幂函数教案.doc

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1、一、指数函数1．形如的函数叫做指数函数，其中自变量是，函数定义域是，值域是．2.指数函数恒经过点．3.当时，函数单调性为在上时增函数；当时，函数单调性是在上是减函数．二、对数函数1．对数定义：一般地，如果（）的次幂等于,即，那么就称是以为底的对数，记作，其中，叫做对数的底数，叫做真数。着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，与所表示的是三个量之间的同一个关系。2.对数的性质：（1）零和负数没有对数；（2）；（3）这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。3.两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底简记为②自然对数：以作底（为无理数），=2.71828

2、……，简记为．4.对数恒等式（1）；（2）要明确在对数式与指数式中各自的含义，在指数式中，是底数，是指数，是幂；在对数式中，是对数的底数，是真数，是以为底的对数，虽然在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求对数就是求中的指数，也就是确定的多少次幂等于。4三、幂函数1．幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点；（2）当时，幂函数在上单调递增；当时，幂函数在上单调递减；（3）当时，幂函数是偶函数；当时，幂函数是奇函数．四、精典范例例1、已知f(x)=x3·()；

3、(1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f(x)>0.【解】：(1)因为2x－1≠0，即2x≠1，所以x≠0，即函数f(x)的定义域为{x∈R

4、x≠0}.又f(x)=x3()=，f(－x)==f(x)，所以函数f(x)是偶函数。(2)当x>0时，则x3>0，2x>1，2x－1>0，所以f(x)=又f(x)=f(－x),当x<0时，f(x)=f(－x)>0.综上述f(x)>0.4例2、已知f(x)=若f(x)满足f(－x)=－f(x).(1)求实数a的值；(2)判断函数的单调性。【解】：(1)函数f(x)的定义域为R，又f(x)满足f(－x)=－f(x)，所以f(－0)=－f(0)，即f

5、(0)=0.所以，解得a=1，(2)设x1f(x)的x的取值范围；(3)在(2)的范围内，求y=g(x)－f(x)的最大值。【解】：(1)令，则x=2s,y=2t.因为点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动，所以2t=log2(3s+1)，即t=log2(

6、3s+1)，所以g(x)=log2(3s+1)(2)因为g(x)>f(x)所以log2(3x+1)>log2(x+1)即(3)最大值是log23－例4、已知函数f(x)满足f(x2－3)=lg(1)求f(x)的表达式及其定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时，求g(3)的值.解：(1)设x2－3=t，则x2=t+3,所以f(t)=lg所以f(x)=lg解不等式，得x<－3，或x>3.所以f(x)-lg，定义域为(－∞，－3)∪(3，+∞).4(2)f(-x)=lg=－f(x).(3)因为f[g(x)]=lg(x+1)，f

7、(x)=lg，所以lg，所以().解得g(x)=,所以g(3)=54