指数函数、对数函数、幂函数.doc

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1、一、知识回顾表1指数函数对数数函数定义域值域图象性质过定点过定点减函数增函数减函数增函数1010二、经典例题导讲[例1]已知求错解：∵∴　∴错因：因对性质不熟而导致题目没解完.正解：∵∴　∴[例2]分析方程（）的两个根都大于1的充要条件.错解：由于方程（）对应的二次函数为的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可.　故需满足，所以充要条件是错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x轴有交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.正解：充要条件是[例3]求函数的单调区间.错解

2、：令，则＝∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.正解：令，则为增函数，10＝＝　∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数∴函数的单调递减区间是，单调递增区间为[例4]已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是　　　　　错解：∵是由，复合而成，又＞0　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知应为增函数，∴＞1错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定

3、义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.正解：∵是由，复合而成，又＞0　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知应为增函数，∴＞1又由于在[0，1]上时有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可，　　∴＜2综上可知所求的取值范围是1＜＜2[例5]已知函数.（1）当时恒有意义，求实数的取值范围.（2）是否存在这样的实数使得函数在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.分析：函数为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一

4、般先假设存在后再证明.解：（1）由假设，＞0，对一切恒成立，显然，函数g(x)=在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝＞0得到＜∴的取值范围是（0，1）∪（1，）(2)假设存在这样的实数，由题设知，即＝110∴＝此时当时，没有意义，故这样的实数不存在.点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.[例6]已知函数f(x)=,其中为常数，若当x∈(－∞,1］时,f(x)有意义，求实数a的取值范围.分析：参数深含在一

5、个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.解：>0,且a2－a+1=(a－)2+>0,∴1+2x+4x·a>0,a>,当x∈(－∞,1]时,y=与y=都是减函数，∴y=在(－∞,1]上是增函数，max=－,∴a>－,故a的取值范围是(－,+∞).点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位

6、后，利用新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法.[例7]若，试求的取值范围.解：∵幂函数有两个单调区间，∴根据和的正、负情况，有以下关系　①　　　②　　　　　③解三个不等式组：①得＜＜，②无解，③＜－1∴的取值范围是（－∞，－1）∪（，）10点评：幂函数有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为，从而导致解题错误.[例8]已知a>0且a≠1,f(logax)=(x－)(1)求f(x)；(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；(3)对于f(x),当x∈(－1,1)时,有f(1－m)+f(1－m2)<0,求m的

7、集合M.分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.解：(1)令t=logax(t∈R)，则f(x)在R上都是增函数.点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会.练习一、选择题1．下列函数与有相同图象的一个函数是（）A．B．C．D．2．下列函数中是奇函数的有几个（）①②③④A．B．C．D．3．函数与的图象关于下列那种图形对称()10A．轴B．轴C．直线D．原点中心对称4．已知，则值为（）A.B.C.D.5．函数的定义域是（）

8、A．B．C．D．6．三个数的大小关系为