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1、数值实验报告I实验名称Poisson方程九点差分格式实验时间2016年4月15日姓名米瑞琪班级信息1303学号1309010304成绩一、实验目的，内容1、理解Poisson方程九点差分格式的构造原理；2、理解因为网格点的不同排序方式造成的系数矩阵格式的差异；3、学会利用matlab的spdiags(),kron()函数生成系数矩阵；二、算法描述针对一个Poisson方程问题：∆u=-f(x,y)在Poisson方程五点差分格式的基础上，采用Taylor展开分析五点差分算子的截断误差，可以得到：∆huxi
2、,yj=∆uxi,yj+112h12∂4uxi,yj∂x4+h22∂4uxi,yj∂y4+Oh4=∆uxi,yj+112h12∂2∂x2+h22∂2∂y2∂2uxi,yj∂x2+∂2uxi,yj∂y2-h12+h2212∂4uxi,yj∂x2∂y2+Oh4(1)为了提高算子截断误差的精度，在(1)式中配凑出了差分算子的形式，将原Poisson方程代入（1）式有：∆huxi,yj=∆uxi,yj+112h12∂2∂x2+h22∂2∂y2∂2u(xi,yj)∂x2+∂2u(xi,yj)∂y2-h12+h221
3、2∂4uxi,yj∂x2∂y2+Oh4(2)考虑∂4uxi,yj∂x2∂y2，有：∂4uxi,yj∂x2∂y2=1h22uxxxi,yj+1-2uxxxi,yj+uxxxi,yj-1+Oh22=1h22uxi+1,yj+1-2uxi,yj+1+uxi-1,yj+1h12-h1212∂4uxi,yj+1∂x4-2uxi+1,yj-2uxi,yj+uxi-1,yjh12+2h1212∂4uxi,yj∂x4+uxi+1,yj-1-2uxi,yj-1+uxi-1,yj-1h12-h1212∂4uxi,yj-1∂x
4、46=1h22Lhuxi,yj+1-2Lhuxi,yj+Lhuxi,yj-1-h12h212∂5uxi,yj+1∂x4∂y+h12h212∂5uxi,yj-1∂x4∂y=1h22Lhuxi,yj+1-2Lhuxi,yj+Lhuxi,yj-1-ch12h2212∂6uxi,yj∂x4∂y2(3)将（3）代回（2）可得∆huxi,yj+h12+h2212h12h224uxi,yj-2uxi,yj+1+uxi,yj-1+uxi+1,yj+uxi-1,yj+uxi+1,yj+1+uxi+1,yj-1+uxi-1,
5、yj+1+uxi-1,yj-1=-fxi,yj-112h12∂2fxi,yj∂x2+h22∂2fxi,yj∂y2得到Poisson方程的九点差分格式：∆huij+h12+h2212h12h224uij-2ui,j+1+ui,j-1+ui+1,j+ui-1,j+ui+1,j+1+ui+1,j-1+ui-1,j+1+ui-1,j-1=-fij-112h12∂2fij∂x2+h22∂2fij∂y2(4)在计算机上实现（4）式，需要在五点差分格式∆huij=-fij的基础上在等式两端分别增加一部分，将等式左侧新增
6、的部分写成紧凑格式，有：4-2-21-24-21-21⋱⋱⋱⋱⋱⋱-241-2-214-2-211-21-24-21-21⋱⋱⋱⋱⋱⋱⋱⋱⋱1-2-241-2-21⋱-21-214-21⋱⋱⋱-24-21-2-2⋱-2-24u11u12⋮u1,N2-1u21u22⋮u2,N2-1⋮uN1-1,1uN1-1,2⋮uN1-1,N2-1对于该矩阵，可以看成是两个矩阵的组合：C=4-2-24-2⋱⋱⋱-244-2-24-2⋱⋱⋱-24⋱4-2-24-2-2⋱-2-24以及D=-211-21⋱⋱⋱1-2-21-21
7、1-211-21⋱⋱⋱⋱⋱⋱1-21-2-21-21-211⋱⋱⋱1-2则生成这两个矩阵可以采用Kroncker生成，方法类似于五点差分格式。对于右端添加的关于f(x,y)的二阶导数，可以采用中心差分格式进行近似代替，即：6112h12∂2fij∂x2+h22∂2fij∂y2=112fi+1,j-2fij+fi-1,j+fi,j+1-2fij+fi,j-1=112-4fij+fi+1,j+fi-1,j+fi,j+1+fi,j-1写成相应的紧凑格式有：112h12∂2fij∂x2+h22∂2fij∂y2=1
8、12-4111-411⋱⋱⋱⋱1-411-41111-411⋱⋱⋱⋱⋱11-411⋱11-41⋱1-4111⋱111-4f11f12⋮f1,N2-1f21f22⋮f2,N2-1⋮fN1-1,1fN1-1,2⋮fN1-1,N2-1+112f01f02⋮f0,N2-100⋮0⋮fN1,1fN1,2⋮fN1,N2-1+112f100⋮f1,N2f200⋮f2,N2⋮fN1-1,00⋮fN1-1,N2该式中的矩阵又可以分解为两个矩阵的
