迭代法实验报告_米瑞琪.docx

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1、数值实验报告Ⅱ实验名称迭代法求解Poisson方程实验时间2016年4月10日姓名米瑞琪班级信息1303学号成绩一、实验目的，内容1、理解并掌握三类迭代方法（Jacobi,Gauss-Siedel,SOR）迭代方法的构造原理；2、了解矩阵在matlab中不同的存储方式会导致不同的计算效率，学会采用最高效的方式存储矩阵；3、学会在计算机上实现迭代法，并比较不同方法的效率与误差；二、算法描述（一）Jacobi迭代对于线性方程组：Au=b(1)为了构造迭代格式，可将上式改写为：u=Tu+d(2)假定A的对角元均不为0，将A分裂为：A=D-B(3)其中D为：D=diag

2、A11,A22,A33,…,Ann(4)则(1)式可写为：Du=Bu+b(5)形成Jacobi迭代：uk+1=D-1Buk+D-1b(6)为了在迭代格式中不出现B，将B=D-A代入(6)式有：uk+1=(I-D-1A)uk+D-1b(7)为了保证迭代格式的收敛，需要使迭代矩阵的谱半径ρT<1.（二）SOR迭代对于（1）式中的线性方程组，将A分裂为：A=D-L-U(8)其中L，U分别为A对应的上三角与下三角矩阵的负值。由Gauss-Siedel迭代格式的中间步骤：Duk+1=Luk+1+Ruk+f(9)引入非零参数ω作为松弛因子，则有：uk+1=uk+ωuk+1-

3、uk(10)将（9）式代入（10）式，整理之后可以得到SOR迭代格式：uk+1=(D-ωL)-11-ωD+ωRuk+(D-ωL)-1ωf(11)计算可得最佳松弛因子为：ωopt=21+1-μ212其中μ=cosπh(13)（三）Gauss-Siedel迭代在SOR方法中令松弛因子ω=1，则有uk+1=uk+1(14)则有迭代格式：Duk+1=Luk+1+Ruk+f(15)可见Jacobi迭代与Gauss-Siedel迭代的区别在于Jacobi迭代将A分解为D，L+R，Gauss-Siedel迭代将A分解为D-L，R。三．程序代码按照上述三种格式分别在matlab

4、中实现，代码如下：（一）Jacobi迭代说明：u为最终的运算结果，A为系数矩阵，tol为允许的最大迭代步数，steps记录当前已经经过的迭代步数,eps为规定的计算精度，u0为初值function[u,steps]=Jacobian_Iteration(A,u0,b,eps,tol)%uisthefinalresult，Aistheiterationmatrix，tolisthepermittedbiggeststep，%stepsshowshowmanystepsoftheiteration,epsistheprecisionofthe%result%u0为初

5、值ifnargin<5tol=;endifnargin<4eps=1e-5;endsteps=0;[m,n]=size(A);ifm~=nfprintf('thenumberofcolumnsandrowsareunequal');returnend%生成对角矩阵D，采用稀疏存储spdiags而不是diag可以大大节省内存空间并提高计算效率d=diag(A);e1=ones(n,1);e2=zeros(n,1);D=spdiags([e2de2],[-101],n,n);I=spdiags([e2e1e2],[-101],n,n);%生成迭代矩阵M=I-(DA

6、);%{[vecval]=eig(M);spec_r=max(max(abs(val)));%检验迭代法是否收敛的话需要添加此段代码if(spec_r>=1)fprintf('invaliditeration:thespectralradiusislargerthan1');u=u0;k=0;return;end%}d=Db;err=A*u0-b;%误差的计算采用前后两步迭代之间向量的差，提高计算效率whilemax(abs(err))>eps&&steps

7、eps>=tol)fprintf('iterationexceedslimit,Jacobian');stepsu=u0;return;endu=u0;end（一）SOR迭代function[u,steps]=SOR_Iteration(A,u0,b,eps,tol)ifnargin<5tol=10000;endifnargin<4eps=1e-5;end%检查矩阵是否是方阵[m,n]=size(A);ifm~=nfprintf('invalidA:matrixdimentionsshouldagree');endsteps=0;%生成迭代矩阵d=diag(A)

8、;e1=zeros(n,