2018年中考数学（贵阳专版）总复习训练：专题5　猜想、探究与证明.doc

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1、专题五　猜想、探究与证明,规律与策略)猜想、探究与证明题型是全国各地中考的热门题型，由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以往往作为中考试卷中的压轴题出现，主要用于考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识．纵观贵阳5年中考，只有2013年考查了猜想、探究问题，设置在第24题，以解答题的形式出现，分值为12分．,中考重难点突破)1．(德州中考)(1)问题：如图①，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD·BC＝AP·BP；(2)探究：如图②，在四边形ABCD中，点P为

2、AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由；(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图③，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC＝∠A，设点P的运动时间为t(s)，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．【解析】(1)如图①，由∠DPC＝∠A＝∠B＝90°可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；(2)如图②，由∠DPC＝∠A＝∠B＝θ可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形

3、的性质即可解决问题；(3)如图③，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE＝BE＝3，根据勾股定理可得DE＝4，由题意可得DC＝DE＝4，则有BC＝5－4＝1.易证∠DPC＝∠A＝∠B.根据AD·BC＝AP·BP，就可求出t的值．【答案】解：(1)如图①，∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝90°，∠BPC＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，∴AD·BC＝AP·BP；(2)结论AD·BC＝AP·BP仍然成立．理由：如图②，∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC，∠BPD＝∠A＋∠ADP，∴∠DPC＋∠BPC＝∠A＋∠ADP.∵

4、∠DPC＝∠A＝∠B＝θ，∴∠BPC＝∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴＝，∴AD·BC＝AP·BP；(3)如答图，过点D作DE⊥AB于点E.∵AD＝BD＝5，AB＝6，∴AE＝BE＝3.由勾股定理可得DE＝4.∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，∴DC＝DE＝4，∴BC＝5－4＝1.又∵AD＝BD，∴∠A＝∠B，∴∠DPC＝∠A＝∠B.由(1)、(2)的经验可知AD·BC＝AP·BP，∴5×1＝t(6－t)，解得：t1＝1，t2＝5，∴t的值为1s或5s.2．【问题探究】(1)如图①，锐角△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC

5、，∠BAE＝∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由；【深入探究】(2)如图②，四边形ABCD中，AB＝7cm，BC＝3cm，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长；(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．【解析】(1)首先根据等式的性质证明∠EAC＝∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明BD＝CE；(2)在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA，EB，EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD＝CE，然后在直角三角形BCE中利用

6、勾股定理即可求解；(3)在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，证明△EAC≌△BAD，证明BD＝CE，即可求解．【答案】解：(1)BD＝CE.理由如下：∵∠BAE＝∠CAD，[来源:gkstk.Com]∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD.在△EAC和△BAD中，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE；(2)如答图①，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA，EB，EC.∵∠ACD＝∠ADC＝45°，[来源:学优高考网gkstk]∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠

7、CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD.在△EAC和△BAD中，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE.∵AE＝AB＝7cm，∴BE＝＝7cm，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，∴EC＝＝＝cm，∴BD＝CE＝cm；(3)如答图②，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE.∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，∴AE＝AB＝