2016中考命题研究数学（贵阳）：专题八二次函数中存在性问题.doc

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1、专题八　二次函数中存在性问题二次函数中存在性问题是贵阳中考必考内容，近5年共考了4次，主要与几何图形结合起来考查，且都以解答题形式出现，分值12分．预计2016年贵阳中考对二次函数存在性问题仍会考查，且涉及到的内容有：等腰三角形，直角三角形，相似三角形、面积最值、面积倍分、特殊四边形等存在性问题．,中考重难点突破)　等腰三角形存在性问题【经典导例】【例1】如图，已知直线y＝3x－3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合)．(1)求抛物线的解析式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使

2、△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．【解析】(1)根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式．(2)由(1)求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算．(3)根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为(－1，m)，分三种情况讨论，①MA＝BA，②MB＝BA，③MB＝MA，求出m的值后即可得出答案．【学生解答】(2016原创预测)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c(c≠0)的图象经过点A(－2，m)(m<0)，与y轴交于点B，AB∥x轴，且3A

3、B＝2OB.(1)求m的值；(2)求二次函数的解析式；(3)如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点(点C在左侧)．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．　直角三角形存在性问题【经典导例】【例2】(2015贵阳模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，连接CD、BD，把△BCD沿BC折叠，①求点D的对应点D′的坐标；②在抛物线上是否存在点P，使得△DD′P是以DD′为一直角边的直角三角形？若存在，求

4、出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)把A(－1，0)、C(0，4)两点的坐标代入y＝ax2＋bx－4a，根据待定系数法可得这个抛物线的解析式．(2)①将点D(m，m＋1)代入y＝－x2＋3x＋4中，得到D点坐标，根据等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形，根据折叠的性质进一步得到点D的对应点D′的坐标；②存在满足条件的点P.过D′作D′E∥BC交x轴于E，交抛物线于P1，根据待定系数法可得直线D′E的解析式，联立方程组可得点P1的坐标；过D作DF∥BC交y轴于F，交抛物线于P2，根据待定系数法可得直线DF的解析式，联立方程组可得点P2的坐标．【学生解答】(201

5、5黔东南中考)如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(，)和B(4，m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标．　面积最值存在性问题【经典导例】【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴；(2)设点P为抛物线(x>5)上的一点，若以A、

6、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；(3)连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，可利用两点式法设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)，代入A(0，4)即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴．(2)由已知，可求得P(6，4)，由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO＝4、OM＝3，又知点P的坐标中x>5，所以MP>2，AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、

7、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，则分析求解即可求得答案．(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大，设N点的横坐标为t，此时点N(t，t2－t＋4)(0